Номер 1.134, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.134. Вычислите, используя свойства степени и основное логарифмическое тождество:

а) $7^{\log_7 2 - \log_3 9}$;

б) $9^{\log_9 2 + \log_5 \frac{1}{25}};

в) $(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5 + \log_3 81}$;

г) $6^{\log_5 0.2 + \log_6 15}$.

а) $7^{\log_7 2 - \log_3 9}$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$7^{\log_7 2 - \log_3 9} = \frac{7^{\log_7 2}}{7^{\log_3 9}}$

Вычислим числитель, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 2} = 2$

Вычислим знаменатель. Сначала упростим логарифм в показателе степени: $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$.

Тогда знаменатель равен $7^2 = 49$.

Подставим найденные значения в дробь:

$\frac{2}{49}$

Ответ: $\frac{2}{49}$

б) $9^{\log_9 2 + \log_5 \frac{1}{25}}$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$9^{\log_9 2 + \log_5 \frac{1}{25}} = 9^{\log_9 2} \cdot 9^{\log_5 \frac{1}{25}}$

Вычислим первый множитель, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$9^{\log_9 2} = 2$

Вычислим второй множитель. Сначала упростим логарифм в показателе степени: $\log_5 \frac{1}{25} = \log_5 5^{-2} = -2$.

Тогда второй множитель равен $9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Перемножим полученные значения:

$2 \cdot \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$

Ответ: $\frac{2}{81}$

в) $(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5 + \log_3 81}$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5 + \log_3 81} = (\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5} \cdot (\sqrt{2})^{\log_3 81}$

Вычислим первый множитель, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5} = 5$

Вычислим второй множитель. Сначала упростим логарифм в показателе степени: $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$.

Тогда второй множитель равен $(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$.

Перемножим полученные значения:

$5 \cdot 4 = 20$

Ответ: $20$

г) $6^{\log_5 0,2 + \log_6 15}$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$6^{\log_5 0,2 + \log_6 15} = 6^{\log_5 0,2} \cdot 6^{\log_6 15}$

Вычислим первый множитель. Сначала упростим логарифм в показателе степени: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, поэтому $\log_5 0,2 = \log_5 5^{-1} = -1$.

Тогда первый множитель равен $6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Вычислим второй множитель, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$6^{\log_6 15} = 15$

Перемножим полученные значения:

$\frac{1}{6} \cdot 15 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$