Номер 1.132, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.132. Найдите значение выражения, выбрав рациональный способ вычисления:

а) $10^{\lg \frac{1}{5} + \lg 2}$ ;

б) $3^{\log_3 2 - \log_3 \frac{1}{6}}$ ;

в) $5^{\log_5 7 + \log_5 0,3}$ .

а) $10^{\lg\frac{1}{5} + \lg 2}$

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами логарифмов и степеней. Сначала упростим показатель степени. Рациональный способ заключается в применении свойства суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$. В данном случае $\lg$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

$\lg\frac{1}{5} + \lg 2 = \lg(\frac{1}{5} \cdot 2) = \lg(\frac{2}{5}) = \lg 0.4$

Теперь подставим упрощенный показатель обратно в исходное выражение:

$10^{\lg 0.4}$

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$10^{\log_{10} 0.4} = 0.4$

Ответ: $0.4$

б) $3^{\log_3 2 - \log_3 \frac{1}{6}}$

Упростим показатель степени, используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

$\log_3 2 - \log_3 \frac{1}{6} = \log_3 (2 \div \frac{1}{6}) = \log_3 (2 \cdot 6) = \log_3 12$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$3^{\log_3 12}$

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3 12} = 12$

Ответ: $12$

в) $5^{\log_5 7 + \log_5 0.3}$

Так же, как и в предыдущих примерах, сначала упростим показатель степени. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_5 7 + \log_5 0.3 = \log_5 (7 \cdot 0.3) = \log_5 2.1$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$5^{\log_5 2.1}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 2.1} = 2.1$

Ответ: $2.1$