Номер 1.126, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.126. Вычислите:

a) $(\log_3 9)^2$;

б) $(\log_2 8)^3$;

в) $(\log_5 \frac{1}{125})^3$;

г) $(\log_3 \sqrt{3})^4$.

а) $\log_3^2 9$

Выражение $\log_3^2 9$ по определению равно $(\log_3 9)^2$.

Сначала вычислим значение логарифма $\log_3 9$. Логарифм $\log_a b$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

В нашем случае, нам нужно найти такое число $c$, что $3^c = 9$.

Так как $9 = 3^2$, то $c=2$. Следовательно, $\log_3 9 = 2$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(\log_3 9)^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

б) $\log_2^3 8$

Выражение $\log_2^3 8$ означает $(\log_2 8)^3$.

Сначала вычислим $\log_2 8$. Найдем степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 8.

Так как $8 = 2^3$, то $\log_2 8 = 3$.

Теперь возведем полученный результат в третью степень:

$(\log_2 8)^3 = 3^3 = 27$.

Ответ: 27

в) $\log_5^3 \frac{1}{125}$

Данное выражение равно $(\log_5 \frac{1}{125})^3$.

Вычислим $\log_5 \frac{1}{125}$. Найдем степень, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить число $\frac{1}{125}$.

Представим $\frac{1}{125}$ в виде степени числа 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$.

Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.

Таким образом, $\log_5 \frac{1}{125} = -3$.

Теперь возведем результат в третью степень:

$(\log_5 \frac{1}{125})^3 = (-3)^3 = -27$.

Ответ: -27

г) $\log_3^4 \sqrt{3}$

Данное выражение равно $(\log_3 \sqrt{3})^4$.

Вычислим $\log_3 \sqrt{3}$. Найдем степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить $\sqrt{3}$.

Представим $\sqrt{3}$ в виде степени числа 3. По определению корня, $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.

Следовательно, $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Таким образом, $\log_3 \sqrt{3} = \frac{1}{2}$.

Теперь возведем результат в четвертую степень:

$(\log_3 \sqrt{3})^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$