Номер 1.123, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.123. Найдите число x, используя определение логарифма:

а) $log_x 27 = 3;$

б) $log_x \frac{1}{32} = 5;$

в) $log_x \frac{1}{49} = -2;$

г) $log_x 13 = 1;$

д) $log_x 7 = \frac{1}{2};$

е) $log_x 2 = \frac{1}{3}. $

Для решения всех уравнений воспользуемся определением логарифма: $log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. При этом основание логарифма $b$ (в нашем случае $x$) должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$, $x \neq 1$).

а) Дано уравнение $log_x 27 = 3$.
По определению логарифма, это означает, что $x$ в степени $3$ равно $27$.
$x^3 = 27$
Чтобы найти $x$, нужно найти число, которое при возведении в куб дает 27. Это число 3, так как $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
$x = 3$.
Проверяем: основание $x=3$ больше 0 и не равно 1. Условие выполняется.
Ответ: 3

б) Дано уравнение $log_x \frac{1}{32} = 5$.
По определению логарифма, это означает, что $x^5 = \frac{1}{32}$.
Мы знаем, что $2^5 = 32$. Следовательно, $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Таким образом, $x = \frac{1}{2}$.
Проверяем: основание $x = \frac{1}{2}$ больше 0 и не равно 1. Условие выполняется.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Дано уравнение $log_x \frac{1}{49} = -2$.
По определению логарифма, $x^{-2} = \frac{1}{49}$.
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем уравнение:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{49}$
Отсюда следует, что $x^2 = 49$.
Это уравнение имеет два корня: $x = 7$ и $x = -7$.
Однако основание логарифма $x$ должно быть положительным ($x > 0$), поэтому корень $x = -7$ не подходит.
Остается $x = 7$.
Проверяем: основание $x=7$ больше 0 и не равно 1. Условие выполняется.
Ответ: 7

г) Дано уравнение $log_x 13 = 1$.
По определению логарифма, $x^1 = 13$.
Любое число в первой степени равно самому себе, значит $x = 13$.
Проверяем: основание $x=13$ больше 0 и не равно 1. Условие выполняется.
Ответ: 13

д) Дано уравнение $log_x 7 = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма, $x^{\frac{1}{2}} = 7$.
Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню: $\sqrt{x} = 7$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 7^2$
$x = 49$.
Проверяем: основание $x=49$ больше 0 и не равно 1. Условие выполняется.
Ответ: 49

е) Дано уравнение $log_x 2 = \frac{1}{3}$.
По определению логарифма, $x^{\frac{1}{3}} = 2$.
Степень $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню: $\sqrt[3]{x} = 2$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x})^3 = 2^3$
$x = 8$.
Проверяем: основание $x=8$ больше 0 и не равно 1. Условие выполняется.
Ответ: 8