Номер 1.120, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.120. Найдите значение выражения, пользуясь определением логарифма:

а) $\log_2 4$;

б) $\log_3 81$;

в) $\log_6 \frac{1}{6}$;

г) $\log_{0.5} 0.125$;

д) $\log_3 \frac{1}{9}$;

е) $\log_{0.5} 8$;

ж) $\lg 100$;

з) $\lg 0.0001$;

и) $\log_{12} 12$;

к) $\log_8 1$;

л) $\log_7 \sqrt{7}$;

м) $\log_5 \sqrt[8]{5}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\log_2 4$, воспользуемся определением логарифма: логарифм числа $b$ по основанию $a$ – это показатель степени $x$, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, $\log_a b = x$ эквивалентно $a^x = b$.
Пусть $\log_2 4 = x$. Тогда по определению логарифма $2^x = 4$.
Поскольку $4 = 2^2$, мы можем записать уравнение как $2^x = 2^2$.
Отсюда следует, что $x = 2$.
Ответ: 2

б) Пусть $\log_3 81 = x$. По определению логарифма, это означает, что $3^x = 81$.
Мы знаем, что $81$ это $3$ в четвертой степени: $81 = 3^4$.
Следовательно, $3^x = 3^4$, что означает $x = 4$.
Ответ: 4

в) Пусть $\log_6 \frac{1}{6} = x$. По определению логарифма, $6^x = \frac{1}{6}$.
Используя свойство степеней, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.
Значит, $6^x = 6^{-1}$, откуда $x = -1$.
Ответ: -1

г) Пусть $\log_{0,5} 0,125 = x$. По определению логарифма, $(0,5)^x = 0,125$.
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{8}$.
Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$.
Следовательно, $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^3$, откуда $x = 3$.
Ответ: 3

д) Пусть $\log_3 \frac{1}{9} = x$. По определению логарифма, $3^x = \frac{1}{9}$.
Так как $9=3^2$, то $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Получаем уравнение $3^x = 3^{-2}$, откуда $x = -2$.
Ответ: -2

е) Пусть $\log_{0,5} 8 = x$. По определению логарифма, $(0,5)^x = 8$.
Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$ или $2^{-1}$.
Уравнение принимает вид: $(2^{-1})^x = 8$.
Упрощаем левую часть: $2^{-x} = 8$.
Поскольку $8 = 2^3$, получаем $2^{-x} = 2^3$.
Приравнивая показатели степени, имеем $-x = 3$, то есть $x = -3$.
Ответ: -3

ж) Выражение $\lg 100$ является десятичным логарифмом, то есть логарифмом по основанию 10: $\lg 100 = \log_{10} 100$.
Пусть $\log_{10} 100 = x$. По определению логарифма, $10^x = 100$.
Так как $100 = 10^2$, получаем $10^x = 10^2$.
Отсюда $x = 2$.
Ответ: 2

з) Выражение $\lg 0,0001$ — это логарифм по основанию 10: $\lg 0,0001 = \log_{10} 0,0001$.
Пусть $\log_{10} 0,0001 = x$. По определению, $10^x = 0,0001$.
Представим $0,0001$ в виде степени десяти: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.
Следовательно, $10^x = 10^{-4}$, откуда $x = -4$.
Ответ: -4

и) Пусть $\log_{12} 12 = x$. По определению логарифма, $12^x = 12$.
Так как $12 = 12^1$, получаем $12^x = 12^1$.
Отсюда $x=1$.
Ответ: 1

к) Пусть $\log_8 1 = x$. По определению логарифма, $8^x = 1$.
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Таким образом, $8^0 = 1$.
Следовательно, $x = 0$.
Ответ: 0

л) Пусть $\log_7 \sqrt{7} = x$. По определению логарифма, $7^x = \sqrt{7}$.
Квадратный корень можно представить в виде степени с показателем $\frac{1}{2}$: $\sqrt{7} = 7^{1/2}$.
Получаем уравнение $7^x = 7^{1/2}$.
Отсюда $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

м) Пусть $\log_5 \sqrt[8]{5} = x$. По определению логарифма, $5^x = \sqrt[8]{5}$.
Корень 8-й степени можно представить в виде степени с показателем $\frac{1}{8}$: $\sqrt[8]{5} = 5^{1/8}$.
Получаем уравнение $5^x = 5^{1/8}$.
Отсюда $x = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$