Номер 1.119, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.119. Найдите логарифмы чисел:

a) 2; $\frac{1}{32}$; 0,125; $\sqrt{2}$ по основанию 2;

б) 1000; 0,1; $\sqrt[3]{10}$; 1 по основанию 10.

а) Найдем логарифмы чисел по основанию 2. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ ($log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

1. Найдем $log_2 2$.
Нам нужно найти такое число $x$, что $2^x = 2$. Очевидно, что $x=1$.
Следовательно, $log_2 2 = 1$.

2. Найдем $log_2 \frac{1}{32}$.
Нам нужно найти такое число $x$, что $2^x = \frac{1}{32}$.
Так как $32 = 2^5$, то $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.
Таким образом, уравнение принимает вид $2^x = 2^{-5}$, откуда $x = -5$.
Следовательно, $log_2 \frac{1}{32} = -5$.

3. Найдем $log_2 0,125$.
Нам нужно найти такое число $x$, что $2^x = 0,125$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Таким образом, уравнение принимает вид $2^x = 2^{-3}$, откуда $x = -3$.
Следовательно, $log_2 0,125 = -3$.

4. Найдем $log_2 \sqrt{2}$.
Нам нужно найти такое число $x$, что $2^x = \sqrt{2}$.
Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Таким образом, уравнение принимает вид $2^x = 2^{\frac{1}{2}}$, откуда $x = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1; -5; -3; \frac{1}{2}$.

б) Найдем логарифмы чисел по основанию 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как $lg$.

1. Найдем $log_{10} 1000$.
Нам нужно найти такое число $x$, что $10^x = 1000$.
Так как $1000 = 10^3$, то уравнение принимает вид $10^x = 10^3$, откуда $x = 3$.
Следовательно, $log_{10} 1000 = 3$.

2. Найдем $log_{10} 0,1$.
Нам нужно найти такое число $x$, что $10^x = 0,1$.
Представим десятичную дробь в виде степени числа 10: $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
Таким образом, уравнение принимает вид $10^x = 10^{-1}$, откуда $x = -1$.
Следовательно, $log_{10} 0,1 = -1$.

3. Найдем $log_{10} \sqrt[3]{10}$.
Нам нужно найти такое число $x$, что $10^x = \sqrt[3]{10}$.
Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$.
Таким образом, уравнение принимает вид $10^x = 10^{\frac{1}{3}}$, откуда $x = \frac{1}{3}$.
Следовательно, $log_{10} \sqrt[3]{10} = \frac{1}{3}$.

4. Найдем $log_{10} 1$.
Нам нужно найти такое число $x$, что $10^x = 1$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $10^0 = 1$.
Следовательно, $x = 0$.
Следовательно, $log_{10} 1 = 0$.

Ответ: $3; -1; \frac{1}{3}; 0$.