Номер 1.121, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.121. Найдите число x, используя определение логарифма:

а) $log_6 x = 1;$

б) $log_{0,5} x = -2;$

в) $log_3 x = 4;$

г) $log_5 x = \frac{1}{2};$

д) $lg x = -2;$

е) $log_7 x = 0.$

Для решения данных задач воспользуемся определением логарифма. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$, $a \neq 1$ и $b > 0$) называется показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

Математически это записывается так: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

Применим это определение к каждому пункту.

а) Дано уравнение $\log_6 x = 1$.

Согласно определению логарифма, это эквивалентно уравнению $x = 6^1$.

Следовательно, $x = 6$.

Ответ: 6

б) Дано уравнение $\log_{0,5} x = -2$.

По определению логарифма, $x = 0,5^{-2}$.

Представим основание $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Тогда $x = (\frac{1}{2})^{-2}$. Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $x = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

в) Дано уравнение $\log_3 x = 4$.

По определению логарифма, $x = 3^4$.

Вычислим значение: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Следовательно, $x = 81$.

Ответ: 81

г) Дано уравнение $\log_5 x = \frac{1}{2}$.

По определению логарифма, $x = 5^{\frac{1}{2}}$.

Дробный показатель степени $\frac{1}{2}$ означает извлечение квадратного корня: $x = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

д) Дано уравнение $\lg x = -2$.

$\lg x$ — это обозначение десятичного логарифма, то есть логарифма по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$.

Уравнение принимает вид: $\log_{10} x = -2$.

По определению логарифма, $x = 10^{-2}$.

Вычислим значение: $x = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: 0,01

е) Дано уравнение $\log_7 x = 0$.

По определению логарифма, $x = 7^0$.

Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице.

Следовательно, $x = 1$.

Ответ: 1