Номер 1.133, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.133. Найдите значение выражения:

а) $36^{1 - \log_6 2}$;

б) $25^{1 - \log_5 10}$;

в) $121^{1 + 0.5\log_{11} 100}$;

г) $4^{\log_2 3 + 0.5\log_2 9}$;

д) $100^{2\lg 2 + \lg 3}$;

е) $9^{2\log_3 2 - \log_3 5}$.

а) $36^{1 - \log_6 2}$
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:
$\frac{36^1}{36^{\log_6 2}}$
Так как $36 = 6^2$, выражение можно переписать в виде:
$\frac{36}{(6^2)^{\log_6 2}} = \frac{36}{6^{2\log_6 2}}$
Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$\frac{36}{6^{\log_6 2^2}} = \frac{36}{6^{\log_6 4}}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$\frac{36}{4} = 9$
Ответ: 9.

б) $25^{1 - \log_5 10}$
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:
$\frac{25^1}{25^{\log_5 10}}$
Так как $25 = 5^2$, выражение можно переписать в виде:
$\frac{25}{(5^2)^{\log_5 10}} = \frac{25}{5^{2\log_5 10}}$
Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$\frac{25}{5^{\log_5 10^2}} = \frac{25}{5^{\log_5 100}}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$\frac{25}{100} = 0.25$
Ответ: 0.25.

в) $121^{1 + 0.5 \log_{11} 100}$
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:
$121^1 \cdot 121^{0.5 \log_{11} 100}$
Упростим второй множитель. Так как $121 = 11^2$ и $0.5 \log_{11} 100 = \log_{11} 100^{0.5} = \log_{11} 10$:
$121 \cdot (11^2)^{\log_{11} 10} = 121 \cdot 11^{2 \log_{11} 10} = 121 \cdot 11^{\log_{11} 10^2} = 121 \cdot 11^{\log_{11} 100}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$121 \cdot 100 = 12100$
Ответ: 12100.

г) $4^{\log_2 3 + 0.5 \log_2 9}$
Сначала упростим показатель степени $\log_2 3 + 0.5 \log_2 9$. Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, преобразуем второе слагаемое:
$0.5 \log_2 9 = \log_2 9^{0.5} = \log_2 \sqrt{9} = \log_2 3$
Теперь показатель степени равен $\log_2 3 + \log_2 3 = 2\log_2 3$.
Подставим в исходное выражение:
$4^{2\log_2 3}$
Так как $4 = 2^2$, получаем:
$(2^2)^{2\log_2 3} = 2^{4\log_2 3} = 2^{\log_2 3^4}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^4 = 81$
Ответ: 81.

д) $100^{2\lg 2 + \lg 3}$
Упростим показатель степени $2\lg 2 + \lg 3$. Запись $\lg$ означает логарифм по основанию 10.
Используя свойства логарифмов $k\log_a b = \log_a b^k$ и $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$:
$2\lg 2 + \lg 3 = \lg 2^2 + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12$
Подставим в исходное выражение:
$100^{\lg 12}$
Так как $100 = 10^2$, получаем:
$(10^2)^{\lg 12} = 10^{2\lg 12} = 10^{\lg 12^2} = 10^{\lg 144}$
По определению десятичного логарифма $10^{\lg b} = b$:
$144$
Ответ: 144.

е) $9^{2\log_3 2 - \log_3 5}$
Упростим показатель степени $2\log_3 2 - \log_3 5$.
Используя свойства логарифмов $k\log_a b = \log_a b^k$ и $\log_a m - \log_a n = \log_a(\frac{m}{n})$:
$2\log_3 2 - \log_3 5 = \log_3 2^2 - \log_3 5 = \log_3 4 - \log_3 5 = \log_3 \frac{4}{5}$
Подставим в исходное выражение:
$9^{\log_3 (4/5)}$
Так как $9 = 3^2$, получаем:
$(3^2)^{\log_3 (4/5)} = 3^{2\log_3 (4/5)} = 3^{\log_3 (4/5)^2}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$(\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$
Ответ: $\frac{16}{25}$.