Номер 1.136, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.136*. Вычислите:

а) $4^{\log_2(2 - \sqrt{3})} + 25^{\log_5(2 + \sqrt{3})}$;

б) $9^{\log_3(3 - \sqrt{2})} + 16^{\log_4(3 + \sqrt{2})}$.

а) $4^{\log_2(2-\sqrt{3})} + 25^{\log_5(2+\sqrt{3})}$

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Основное свойство, которое мы будем использовать, это $a^{\log_a b} = b$. Также нам понадобятся свойства $(x^m)^n = x^{mn}$ и $n \log_a b = \log_a (b^n)$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. Преобразуем первое слагаемое $4^{\log_2(2-\sqrt{3})}$:

Представим основание 4 как $2^2$:

$4^{\log_2(2-\sqrt{3})} = (2^2)^{\log_2(2-\sqrt{3})}$

По свойству степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$2^{2 \cdot \log_2(2-\sqrt{3})}$

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:

$2^{\log_2((2-\sqrt{3})^2)}$

Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

2. Преобразуем второе слагаемое $25^{\log_5(2+\sqrt{3})}$:

Представим основание 25 как $5^2$:

$25^{\log_5(2+\sqrt{3})} = (5^2)^{\log_5(2+\sqrt{3})}$

Аналогично первому слагаемому, применяем свойства степени и логарифма:

$5^{2 \cdot \log_5(2+\sqrt{3})} = 5^{\log_5((2+\sqrt{3})^2)}$

Используя основное логарифмическое тождество, получаем:

$(2+\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$.

3. Сложим полученные результаты:

$(7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 7 + 7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 14$.

Ответ: 14

б) $9^{\log_3(3-\sqrt{2})} + 16^{\log_4(3+\sqrt{2})}$

Решаем аналогично пункту а), используя те же свойства степеней и логарифмов.

1. Преобразуем первое слагаемое $9^{\log_3(3-\sqrt{2})}$:

Представим основание 9 как $3^2$:

$9^{\log_3(3-\sqrt{2})} = (3^2)^{\log_3(3-\sqrt{2})} = 3^{2 \cdot \log_3(3-\sqrt{2})} = 3^{\log_3((3-\sqrt{2})^2)}$

Применяем основное логарифмическое тождество:

$(3-\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$.

2. Преобразуем второе слагаемое $16^{\log_4(3+\sqrt{2})}$:

Представим основание 16 как $4^2$:

$16^{\log_4(3+\sqrt{2})} = (4^2)^{\log_4(3+\sqrt{2})} = 4^{2 \cdot \log_4(3+\sqrt{2})} = 4^{\log_4((3+\sqrt{2})^2)}$

Применяем основное логарифмическое тождество:

$(3+\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$.

3. Сложим полученные результаты:

$(11 - 6\sqrt{2}) + (11 + 6\sqrt{2}) = 11 + 11 - 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 22$.

Ответ: 22