Номер 1.144, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.144. Найдите число x:

а) $\log_x 64 = 3;$

б) $\log_x \frac{1}{16} = 4;$

в) $\log_x \frac{1}{25} = -2;$

г) $\log_x 7 = 1.$

а) Дано уравнение $\log_x 64 = 3$.
По определению логарифма, равенство $\log_b a = c$ эквивалентно равенству $b^c = a$. При этом основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равняться единице ($x > 0$, $x \neq 1$).
Применяя определение логарифма к данному уравнению, получаем:
$x^3 = 64$
Чтобы найти $x$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень дает 64. Это кубический корень из 64.
$x = \sqrt[3]{64}$
Так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то $x = 4$.
Проверяем условия для основания логарифма: $x = 4 > 0$ и $x \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: 4.

б) Дано уравнение $\log_x \frac{1}{16} = 4$.
Согласно определению логарифма, переходим к показательному уравнению:
$x^4 = \frac{1}{16}$
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$x^4 = (\frac{1}{2})^4$
Так как основание логарифма $x$ по определению должно быть положительным ($x > 0$), то единственным решением является $x = \frac{1}{2}$.
Проверяем условия: $x = \frac{1}{2} > 0$ и $x \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Дано уравнение $\log_x \frac{1}{25} = -2$.
По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно следующему:
$x^{-2} = \frac{1}{25}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем левую часть:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{25}$
Из этого равенства следует, что $x^2 = 25$.
Уравнение $x^2 = 25$ имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Однако основание логарифма $x$ должно быть положительным числом ($x > 0$), поэтому корень $x = -5$ не является решением исходного уравнения.
Следовательно, единственное решение $x = 5$.
Проверяем условия: $x = 5 > 0$ и $x \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: 5.

г) Дано уравнение $\log_x 7 = 1$.
Применяя определение логарифма, получаем:
$x^1 = 7$
Отсюда следует, что $x = 7$.
Проверяем условия для основания логарифма: $x = 7 > 0$ и $x \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: 7.