Номер 1.149, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.149. Найдите значение выражения, используя основное логарифмическое тождество:

а) $2^{\log_2 3}$;

б) $(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 2}$;

в) $(0.5)^{\log_{0.5} 3}$;

г) $6^{\log_6 12} - 17$;

д) $0.2^{\log_{0.2} 2} + 21$;

е) $(\frac{1}{8})^{\log_{0.125} 3} - 6$.

а)
Для вычисления значения данного выражения используется основное логарифмическое тождество, которое гласит: $a^{\log_a b} = b$ при $a > 0$, $a \neq 1$ и $b > 0$.
В выражении $2^{\log_2 3}$ основание степени $a=2$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=3$.
Применяя тождество, получаем:
$2^{\log_2 3} = 3$.
Ответ: 3

б)
Используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.
В выражении $(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 2}$ основание степени $a=\frac{1}{3}$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=2$.
Следовательно:
$(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 2} = 2$.
Ответ: 2

в)
Для применения основного логарифмического тождества необходимо, чтобы основание степени и основание логарифма были одинаковыми.
Представим основание степени $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 3}$.
Теперь основание степени $a=\frac{1}{2}$ совпадает с основанием логарифма. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, где $b=3$, получаем:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 3} = 3$.
Ответ: 3

г)
Выражение состоит из двух частей: $6^{\log_6 12}$ и $-17$. Сначала упростим первую часть, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
Здесь $a=6$ и $b=12$.
$6^{\log_6 12} = 12$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$12 - 17 = -5$.
Ответ: -5

д)
Рассмотрим первую часть выражения: $0,2^{\log_{0,2} 2^2}$.
Основание степени $a=0,2$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма равно $b = 2^2 = 4$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$0,2^{\log_{0,2} 2^2} = 4$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение и выполним сложение:
$4 + 21 = 25$.
Ответ: 25

е)
Рассмотрим первую часть выражения: $(\frac{1}{8})^{\log_{0,125} 3}$.
Чтобы применить основное логарифмическое тождество, приведем основания к одному виду. Преобразуем десятичную дробь в основании логарифма в обыкновенную:
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Теперь выражение выглядит так: $(\frac{1}{8})^{\log_{\frac{1}{8}} 3}$.
Основание степени $a=\frac{1}{8}$ совпадает с основанием логарифма. По тождеству $a^{\log_a b} = b$, где $b=3$:
$(\frac{1}{8})^{\log_{\frac{1}{8}} 3} = 3$.
Подставим результат в исходное выражение:
$3 - 6 = -3$.
Ответ: -3