Номер 1.147, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.147. Найдите значение выражения:

а) $ \log_5 \log_2 32 $

б) $ \log_3 \log_7 7 $

в) $ \log_2 \log_5 \sqrt[4]{5} $

а) $\log_5 \log_2 32$

Для решения этого выражения необходимо вычислять логарифмы последовательно, начиная с внутреннего.

1. Сначала вычислим значение внутреннего логарифма: $\log_2 32$.
По определению логарифма, $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Нам нужно найти число $c$, такое что $2^c = 32$.
Мы знаем, что $32 = 2^5$.
Следовательно, $\log_2 32 = 5$.

2. Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\log_5 (\log_2 32) = \log_5 5$.

3. Вычислим $\log_5 5$.
Используя основное свойство логарифма $\log_a a = 1$, получаем:
$\log_5 5 = 1$.

Ответ: 1

б) $\log_3 \log_7 7$

Вычисляем последовательно, начиная с внутреннего логарифма.

1. Сначала вычислим значение $\log_7 7$.
Согласно свойству логарифма $\log_a a = 1$, имеем:
$\log_7 7 = 1$.

2. Подставим результат в исходное выражение:
$\log_3 (\log_7 7) = \log_3 1$.

3. Вычислим $\log_3 1$.
Логарифм единицы по любому основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \ne 1$) всегда равен нулю, так как $a^0 = 1$.
Следовательно, $\log_3 1 = 0$.

Ответ: 0

в) $\log_2 \log_5 \sqrt[4]{5}$

Решаем по шагам, начиная с внутреннего логарифма.

1. Сначала вычислим $\log_5 \sqrt[4]{5}$.
Представим корень четвертой степени в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[4]{5} = 5^{1/4}$.
Теперь выражение выглядит так: $\log_5 (5^{1/4})$.

2. Используем свойство логарифма $\log_a (a^c) = c$:
$\log_5 (5^{1/4}) = \frac{1}{4}$.

3. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\log_2 (\log_5 \sqrt[4]{5}) = \log_2 \left(\frac{1}{4}\right)$.

4. Вычислим $\log_2 \left(\frac{1}{4}\right)$.
Представим $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Тогда логарифм равен: $\log_2(2^{-2})$.
Используя свойство $\log_a (a^c) = c$, получаем:
$\log_2(2^{-2}) = -2$.

Ответ: -2