Номер 1.163, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.163. Решите иррациональное уравнение:

а) $\sqrt{2x+12}=2x+10$;

б) $\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}=\sqrt{3}$.

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{2x + 12} = 2x + 10$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная корню, также должна быть неотрицательной.
$ \begin{cases} 2x + 12 \ge 0 \\ 2x + 10 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 2x \ge -12 \\ 2x \ge -10 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge -5 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $x \ge -5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{2x + 12})^2 = (2x + 10)^2$
$2x + 12 = 4x^2 + 2 \cdot 2x \cdot 10 + 100$
$2x + 12 = 4x^2 + 40x + 100$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 40x - 2x + 100 - 12 = 0$
$4x^2 + 38x + 88 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$2x^2 + 19x + 44 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 2 \cdot 44 = 361 - 352 = 9 = 3^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{-19 \pm 3}{4}$
$x_1 = \frac{-19 - 3}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5$
$x_2 = \frac{-19 + 3}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5$):
Корень $x_1 = -5.5$ не удовлетворяет условию $x \ge -5$, так как $-5.5 < -5$. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $x \ge -5$, так как $-4 > -5$.

Выполним проверку для $x = -4$, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt{2(-4) + 12} = 2(-4) + 10$
$\sqrt{-8 + 12} = -8 + 10$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$
Равенство верное, значит корень найден правильно.

Ответ: $-4$.

б)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x - 4} + \sqrt{6 - x} = \sqrt{3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$ \begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 6 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $4 \le x \le 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - 4} + \sqrt{6 - x})^2 = (\sqrt{3})^2$
$(x - 4) + 2\sqrt{(x - 4)(6 - x)} + (6 - x) = 3$

Упростим полученное выражение:
$x - 4 + 6 - x + 2\sqrt{6x - x^2 - 24 + 4x} = 3$
$2 + 2\sqrt{-x^2 + 10x - 24} = 3$

Изолируем оставшийся корень:
$2\sqrt{-x^2 + 10x - 24} = 3 - 2$
$2\sqrt{-x^2 + 10x - 24} = 1$
$\sqrt{-x^2 + 10x - 24} = \frac{1}{2}$

Еще раз возведем обе части в квадрат:
$-x^2 + 10x - 24 = (\frac{1}{2})^2$
$-x^2 + 10x - 24 = \frac{1}{4}$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$-x^2 + 10x - 24 - \frac{1}{4} = 0$
$-x^2 + 10x - \frac{97}{4} = 0$
Умножим обе части на -4, чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при $x^2$:
$4x^2 - 40x + 97 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 97 = 1600 - 1552 = 48$
$\sqrt{D} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm 4\sqrt{3}}{2 \cdot 4} = \frac{40 \pm 4\sqrt{3}}{8} = \frac{10 \pm \sqrt{3}}{2}$
$x_1 = \frac{10 - \sqrt{3}}{2}$
$x_2 = \frac{10 + \sqrt{3}}{2}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($4 \le x \le 6$).
Для $x_1 = \frac{10 - \sqrt{3}}{2}$:
Проверим левую границу: $\frac{10 - \sqrt{3}}{2} \ge 4 \iff 10 - \sqrt{3} \ge 8 \iff 2 \ge \sqrt{3} \iff 4 \ge 3$. Верно.
Проверим правую границу: $\frac{10 - \sqrt{3}}{2} \le 6 \iff 10 - \sqrt{3} \le 12 \iff -2 \le \sqrt{3}$. Верно.
Следовательно, корень $x_1$ принадлежит ОДЗ.
Для $x_2 = \frac{10 + \sqrt{3}}{2}$:
Проверим левую границу: $\frac{10 + \sqrt{3}}{2} \ge 4 \iff 10 + \sqrt{3} \ge 8 \iff \sqrt{3} \ge -2$. Верно.
Проверим правую границу: $\frac{10 + \sqrt{3}}{2} \le 6 \iff 10 + \sqrt{3} \le 12 \iff \sqrt{3} \le 2 \iff 3 \le 4$. Верно.
Следовательно, корень $x_2$ также принадлежит ОДЗ.
Так как на всех шагах, где мы возводили в квадрат, обе части уравнения были неотрицательны, посторонние корни не появляются.

Ответ: $\frac{10 - \sqrt{3}}{2}; \frac{10 + \sqrt{3}}{2}$.