Номер 1, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Выберите верное равенство:

а) $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}};$

б) $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = (a^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{5}};$

В) $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}};$

Г) $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{5}}.$

Для решения этой задачи необходимо использовать основное свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это правило записывается в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применим это правило к выражению $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}}$. В данном случае основание степени равно $a$, а показатели степеней — $m = \frac{1}{4}$ и $n = \frac{1}{5}$. Согласно правилу, мы должны сложить показатели: $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов:

а) Равенство $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}}$ является неверным. Умножение показателей ($a^{m \cdot n}$) используется при возведении степени в степень ($(a^m)^n$), а не при умножении степеней.

б) Равенство $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = (a^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{5}}$ является неверным. Правая часть по свойству возведения степени в степень равна $a^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}}$, что, как мы выяснили в пункте а), не является правильным результатом умножения $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}}$.

в) Равенство $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}$ является верным, так как оно в точности соответствует правилу умножения степеней с одинаковым основанием, по которому показатели степеней складываются.

г) Равенство $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{5}}$ является неверным. Оно представляет собой попытку приравнять произведение двух чисел к их сумме, что не является свойством степеней.

Таким образом, единственное верное равенство представлено в пункте в).

Ответ: в