Номер 7, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Сократите дробь

$\frac{3x^{\frac{4}{5}}-x}{5\sqrt{x}-15x^{0.3}}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо преобразовать все ее члены к виду степеней с рациональными показателями, а затем вынести общие множители в числителе и знаменателе.

Исходное выражение:

$$ \frac{3x^{\frac{4}{5}} - x}{5\sqrt{x} - 15x^{0,3}} $$

1. Преобразуем все члены дроби к степеням с одинаковым основанием $x$. Вспомним, что $x = x^1$, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $0,3 = \frac{3}{10}$.

$$ \frac{3x^{\frac{4}{5}} - x^1}{5x^{\frac{1}{2}} - 15x^{\frac{3}{10}}} $$

2. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общий множитель – это $x$ в наименьшей из имеющихся степеней, то есть $x^{\frac{4}{5}}$.

$$ 3x^{\frac{4}{5}} - x^1 = x^{\frac{4}{5}}(3 - x^{1-\frac{4}{5}}) = x^{\frac{4}{5}}(3 - x^{\frac{1}{5}}) $$

3. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Сначала найдем общий числовой множитель для 5 и 15, это 5. Затем найдем общую степень для $x$. Для этого сравним показатели $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{10}$. Приведя к общему знаменателю, получим $\frac{5}{10}$ и $\frac{3}{10}$. Наименьший показатель – $\frac{3}{10}$. Таким образом, общий множитель в знаменателе – это $5x^{\frac{3}{10}}$.

$$ 5x^{\frac{1}{2}} - 15x^{\frac{3}{10}} = 5x^{\frac{3}{10}}(x^{\frac{1}{2}-\frac{3}{10}} - 3) = 5x^{\frac{3}{10}}(x^{\frac{5}{10}-\frac{3}{10}} - 3) = 5x^{\frac{3}{10}}(x^{\frac{2}{10}} - 3) = 5x^{\frac{3}{10}}(x^{\frac{1}{5}} - 3) $$

4. Подставим полученные выражения в дробь:

$$ \frac{x^{\frac{4}{5}}(3 - x^{\frac{1}{5}})}{5x^{\frac{3}{10}}(x^{\frac{1}{5}} - 3)} $$

5. Заметим, что множители в скобках $(3 - x^{\frac{1}{5}})$ и $(x^{\frac{1}{5}} - 3)$ отличаются только знаком. Вынесем знак минус в числителе: $(3 - x^{\frac{1}{5}}) = -(x^{\frac{1}{5}} - 3)$.

$$ \frac{-x^{\frac{4}{5}}(x^{\frac{1}{5}} - 3)}{5x^{\frac{3}{10}}(x^{\frac{1}{5}} - 3)} $$

6. Сократим дробь на общий множитель $(x^{\frac{1}{5}} - 3)$ (при условии, что он не равен нулю):

$$ \frac{-x^{\frac{4}{5}}}{5x^{\frac{3}{10}}} $$

7. Упростим полученное выражение, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ -\frac{1}{5} \cdot x^{\frac{4}{5} - \frac{3}{10}} = -\frac{1}{5} \cdot x^{\frac{8}{10} - \frac{3}{10}} = -\frac{1}{5} \cdot x^{\frac{5}{10}} = -\frac{1}{5}x^{\frac{1}{2}} $$

Это выражение также можно записать в виде $-\frac{\sqrt{x}}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}x^{\frac{1}{2}}$