Номер 10, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите область определения функции

$f(x)=(x^2-5x+4)^{2,3} - \left(\frac{16-x^2}{x+3}\right)^{-\frac{3}{7}}.$

Область определения функции $f(x)$ — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция является разностью двух выражений, поэтому ее область определения есть пересечение областей определения каждого из этих выражений.

Анализ первого слагаемого: $(x^2 - 5x + 4)^{2,3}$

Поскольку показатель степени $2,3$ не является целым числом, основание степени должно быть неотрицательным. Таким образом, мы получаем неравенство:

$x^2 - 5x + 4 \ge 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Область определения для первого слагаемого:

$x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$

Анализ второго слагаемого: $\left(\frac{16 - x^2}{x + 3}\right)^{-\frac{3}{7}}$

Показатель степени $-\frac{3}{7}$ является отрицательным и нецелым. Отрицательный показатель означает, что основание степени не может быть равно нулю. Согласно общепринятому определению степенной функции с нецелым (дробным) показателем в школьном и вузовском курсе, ее основание должно быть строго положительным, чтобы избежать неопределенностей и комплексных чисел. Поэтому накладываем условие:

$\frac{16 - x^2}{x + 3} > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Разложим числитель на множители:

$\frac{(4 - x)(4 + x)}{x + 3} > 0$

Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x = 4$, $x = -4$, $x = -3$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знак выражения на каждом из полученных интервалов. Выражение положительно на интервалах $(-\infty, -4)$ и $(-3, 4)$. Таким образом, область определения для второго слагаемого:

$x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 4)$

Нахождение итоговой области определения

Итоговая область определения функции $f(x)$ является пересечением найденных областей $D_1 = (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$ и $D_2 = (-\infty, -4) \cup (-3, 4)$.

$D(f) = D_1 \cap D_2 = ((-\infty, 1] \cup [4, \infty)) \cap ((-\infty, -4) \cup (-3, 4))$

Найдем пересечение, рассмотрев части по отдельности:

1. Пересечение $(-\infty, 1]$ с $D_2$ дает $(-\infty, -4) \cup (-3, 1]$.

2. Пересечение $[4, \infty)$ с $D_2$ является пустым множеством, так как точка $x=4$ не включена в $D_2$.

Объединив полученные результаты, получаем итоговую область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 1]$.