Номер 8, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите значение выражения:

а) $\log_3 27 - \log_6 \frac{1}{36} + \log_{0,4} 2,5;$

б) $\log_{\sqrt{6}} 36 + \log_{49} 7 - \log_{0,2} 25;$

в) $\log_5^3 25 + \log_2 \log_5 625;$

г) $\log_2^5 0,25 + \log_9 \lg 1000.$

а) Для нахождения значения выражения $\log_3 27 - \log_6 \frac{1}{36} + \log_{0,4} 2,5$ вычислим каждый логарифм по отдельности, используя определение логарифма ($\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$) и его свойства.
1. $\log_3 27$. Так как $3^3 = 27$, то значение логарифма равно 3.
$\log_3 27 = 3$.
2. $\log_6 \frac{1}{36}$. Так как $\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$, то значение логарифма равно -2.
$\log_6 \frac{1}{36} = -2$.
3. $\log_{0,4} 2,5$. Преобразуем основание и аргумент логарифма в дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ и $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$. Заметим, что $\frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$.
$\log_{0,4} 2,5 = \log_{\frac{2}{5}} \frac{5}{2} = \log_{\frac{2}{5}} (\frac{2}{5})^{-1} = -1$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$3 - (-2) + (-1) = 3 + 2 - 1 = 4$.
Ответ: 4

б) Для нахождения значения выражения $\log_{\sqrt{6}} 36 + \log_{49} 7 - \log_{0,2} 25$ вычислим каждый член выражения, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$.
1. $\log_{\sqrt{6}} 36$. Представим основание и аргумент в виде степеней числа 6: $\sqrt{6} = 6^{1/2}$ и $36 = 6^2$.
$\log_{\sqrt{6}} 36 = \log_{6^{1/2}} 6^2 = \frac{2}{1/2} \log_6 6 = 4 \cdot 1 = 4$.
2. $\log_{49} 7$. Представим основание и аргумент в виде степеней числа 7: $49 = 7^2$ и $7 = 7^1$.
$\log_{49} 7 = \log_{7^2} 7^1 = \frac{1}{2} \log_7 7 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
3. $\log_{0,2} 25$. Преобразуем основание $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$\log_{0,2} 25 = \log_{5^{-1}} 5^2 = \frac{2}{-1} \log_5 5 = -2 \cdot 1 = -2$.
Теперь выполним сложение и вычитание полученных значений:
$4 + \frac{1}{2} - (-2) = 4 + 0,5 + 2 = 6,5$.
Ответ: 6,5

в) Для нахождения значения выражения $\log_5^3 25 + \log_2 \log_5 625$ вычислим каждое слагаемое по отдельности.
1. Первое слагаемое: $\log_5^3 25$. Эта запись означает $(\log_5 25)^3$. Сначала вычислим значение $\log_5 25$. Так как $5^2=25$, то $\log_5 25 = 2$.
Теперь возведем результат в куб: $2^3 = 8$.
2. Второе слагаемое: $\log_2 \log_5 625$. Это сложный логарифм, вычисляем его изнутри. Сначала найдем $\log_5 625$. Так как $5^4=625$, то $\log_5 625 = 4$.
Теперь подставим это значение во внешний логарифм: $\log_2 4$. Так как $2^2=4$, то $\log_2 4 = 2$.
Сложим результаты:
$8 + 2 = 10$.
Ответ: 10

г) Для нахождения значения выражения $\log_2^5 0,25 + \log_9 \lg 1000$ вычислим каждое слагаемое.
1. Первое слагаемое: $\log_2^5 0,25$. Эта запись означает $(\log_2 0,25)^5$. Сначала вычислим $\log_2 0,25$. Преобразуем $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.
$\log_2 0,25 = \log_2 2^{-2} = -2$.
Теперь возведем результат в пятую степень: $(-2)^5 = -32$.
2. Второе слагаемое: $\log_9 \lg 1000$. Это сложный логарифм. Сначала вычислим внутренний десятичный логарифм $\lg 1000 = \log_{10} 1000$. Так как $10^3=1000$, то $\lg 1000 = 3$.
Теперь подставим это значение во внешний логарифм: $\log_9 3$. Так как $3 = \sqrt{9} = 9^{1/2}$, то $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.
Сложим полученные значения:
$-32 + \frac{1}{2} = -32 + 0,5 = -31,5$.
Ответ: -31,5