Номер 2.1, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.1. Решите уравнение:

а) $x^3 = 27;$

б) $x^4 = 16;$

в) $x^3 = 25;$

г) $x^6 = 2.$

а) $x^3 = 27$

Данное уравнение является уравнением вида $x^n=a$, где $n$ - нечетное число ($n=3$). Такое уравнение всегда имеет один действительный корень. Для нахождения $x$ необходимо извлечь корень третьей (кубической) степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{27}$

Так как $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, то корень равен 3.

Ответ: $3$.

б) $x^4 = 16$

Это уравнение вида $x^n=a$, где $n$ - четное число ($n=4$). Поскольку правая часть уравнения ($16$) положительна, уравнение имеет два действительных корня. Для их нахождения извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Важно помнить, что при извлечении корня четной степени из обеих частей уравнения необходимо ставить знак $\pm$:

$x = \pm\sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$, то корни равны $2$ и $-2$.

Ответ: $\pm 2$.

в) $x^3 = 25$

Это уравнение с нечетной степенью ($n=3$), поэтому оно имеет один действительный корень. Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{25}$

Число 25 не является кубом какого-либо целого числа, поэтому извлечь из него кубический корень нацело нельзя. Ответ представляется в виде иррационального числа.

Ответ: $\sqrt[3]{25}$.

г) $x^6 = 2$

Это уравнение с четной степенью ($n=6$) и положительной правой частью ($a=2$), следовательно, оно имеет два действительных корня. Извлечем корень шестой степени из обеих частей:

$x = \pm\sqrt[6]{2}$

Так как 2 не является шестой степенью какого-либо целого числа, точный корень не извлекается, и ответ остается в иррациональном виде.

Ответ: $\pm \sqrt[6]{2}$.