Номер 2.6, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.6. Известно, что $g(x) = 0.25^x$. Сравните значения выражений:

а) $g(-2)$ и $3g(0)$;

б) $g(1) + g(-3)$ и $g(\log_4 3)$.

Дана функция $g(x) = 0,25^x$. Для удобства вычислений представим основание степени в виде дроби, а затем в виде степени с основанием 4:

$g(x) = 0,25^x = (\frac{1}{4})^x = (4^{-1})^x = 4^{-x}$.

а) Сравним значения выражений $g(-2)$ и $3g(0)$.

Найдем значение первого выражения, подставив $x = -2$ в формулу функции:

$g(-2) = 0,25^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16$.

Теперь найдем значение второго выражения. Сначала вычислим $g(0)$:

$g(0) = 0,25^0 = 1$.

Тогда второе выражение равно:

$3g(0) = 3 \cdot 1 = 3$.

Сравним полученные результаты: $16 > 3$.

Следовательно, $g(-2) > 3g(0)$.

Ответ: $g(-2) > 3g(0)$.

б) Сравним значения выражений $g(1) + g(-3)$ и $g(\log_{4}3)$.

Найдем значение первого выражения, $g(1) + g(-3)$. Для этого вычислим каждое слагаемое:

$g(1) = 0,25^1 = 0,25$.

$g(-3) = 0,25^{-3} = (\frac{1}{4})^{-3} = 4^3 = 64$.

Теперь сложим полученные значения:

$g(1) + g(-3) = 0,25 + 64 = 64,25$.

Найдем значение второго выражения, $g(\log_{4}3)$. Воспользуемся преобразованной формулой $g(x) = 4^{-x}$:

$g(\log_{4}3) = 4^{-\log_{4}3}$.

Используя свойство логарифма $k \cdot \log_{a}b = \log_{a}b^k$, преобразуем показатель степени:

$-\log_{4}3 = (-1) \cdot \log_{4}3 = \log_{4}3^{-1} = \log_{4}\frac{1}{3}$.

Теперь вычислим значение выражения, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$:

$g(\log_{4}3) = 4^{\log_{4}\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.

Сравним полученные результаты: $64,25$ и $\frac{1}{3}$.

Очевидно, что $64,25 > \frac{1}{3}$.

Следовательно, $g(1) + g(-3) > g(\log_{4}3)$.

Ответ: $g(1) + g(-3) > g(\log_{4}3)$.