Номер 2.13, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.13. Определите, возрастающей или убывающей является показательная функция:

$y = 1.3^x$;

$y = \left(\frac{1}{8}\right)^x$;

$y = (\sqrt{3})^x$;

$y = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^x$;

$y = (\sqrt{10}-3)^x$;

$y = (\sqrt[4]{5})^x$.

Для определения, является ли показательная функция вида $y = a^x$ возрастающей или убывающей, необходимо сравнить ее основание $a$ с единицей. Функция является возрастающей, если основание $a > 1$, и убывающей, если $0 < a < 1$.

а) Для функции $y = 1,3^x$ основание $a = 1,3$. Поскольку основание больше единицы ($a > 1$), данная показательная функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

б) Для функции $y = (\frac{1}{8})^x$ основание $a = \frac{1}{8}$. Поскольку основание находится в интервале $(0; 1)$, то есть $0 < \frac{1}{8} < 1$, данная показательная функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

в) Для функции $y = (\sqrt{3})^x$ основание $a = \sqrt{3}$. Чтобы определить, возрастающая или убывающая функция, сравним ее основание с 1. Так как $3 > 1$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$. Поскольку основание $a = \sqrt{3}$ больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

г) Для функции $y = (\frac{\sqrt{7}}{2})^x$ основание $a = \frac{\sqrt{7}}{2}$. Сравним это значение с 1. Для этого сравним числитель $\sqrt{7}$ со знаменателем $2$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{7})^2 = 7$ и $2^2 = 4$. Так как $7 > 4$, то $\sqrt{7} > 2$. Следовательно, дробь $\frac{\sqrt{7}}{2} > 1$. Поскольку основание больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

д) Для функции $y = (\sqrt{10} - 3)^x$ основание $a = \sqrt{10} - 3$. Оценим значение основания. Известно, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Это означает, что $9 < 10 < 16$, и, следовательно, $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$, или $3 < \sqrt{10} < 4$. Вычтем 3 из всех частей этого двойного неравенства: $3 - 3 < \sqrt{10} - 3 < 4 - 3$, что дает $0 < \sqrt{10} - 3 < 1$. Так как основание $a$ находится в интервале $(0; 1)$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

е) Для функции $y = (\sqrt[4]{5})^x$ основание $a = \sqrt[4]{5}$. Сравним основание с 1. Так как $5 > 1$, то корень любой натуральной степени из 5 также будет больше 1: $\sqrt[4]{5} > \sqrt[4]{1} = 1$. Поскольку основание $a = \sqrt[4]{5}$ больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.