Номер 2.19, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.19. На рисунке 12 изображены графики функций вида $y = a^x$. Определите $a$ для каждой из них.

Рис. 12

Все три графика представляют собой показательные функции вида $y = a^x$. Общим свойством таких функций является то, что их графики проходят через точку $(0, 1)$, поскольку $a^0 = 1$ для любого основания $a > 0$ и $a \neq 1$. Чтобы определить значение основания $a$ для каждой конкретной функции, необходимо найти на ее графике еще одну точку с легко читаемыми целочисленными координатами $(x_0, y_0)$ и подставить их в уравнение функции. Решив полученное уравнение $y_0 = a^{x_0}$ относительно $a$, мы найдем искомое значение.

y₁
График функции $y_1$ (синяя линия) является убывающим, что означает, что его основание $a_1$ находится в интервале $0 < a_1 < 1$. Из графика видно, что он проходит через точку с координатами $(-1, 3)$.
Подставим эти значения в уравнение $y_1 = a_1^x$:
$3 = a_1^{-1}$
Это уравнение можно переписать в виде:
$3 = \frac{1}{a_1}$
Отсюда находим, что $a_1 = \frac{1}{3}$.
Для проверки можно взять другую точку, например, $(-2, 9)$. Подставим в найденную функцию: $y_1 = (\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$. Это значение соответствует точке на графике.
Ответ: $a = \frac{1}{3}$.

y₂
График функции $y_2$ (зеленая линия) является возрастающим, что означает, что его основание $a_2 > 1$. Из графика видно, что он проходит через точку с координатами $(1, 2)$.
Подставим эти значения в уравнение $y_2 = a_2^x$:
$2 = a_2^1$
Отсюда сразу следует, что $a_2 = 2$.
Для проверки можно взять другую точку, например, $(2, 4)$. Подставим в найденную функцию: $y_2 = 2^2 = 4$. Это значение соответствует точке на графике.
Ответ: $a = 2$.

y₃
График функции $y_3$ (красная линия) также является возрастающим, следовательно, его основание $a_3 > 1$. Из графика видно, что он проходит через точку с координатами $(1, 3)$.
Подставим эти значения в уравнение $y_3 = a_3^x$:
$3 = a_3^1$
Отсюда следует, что $a_3 = 3$.
Для проверки можно взять другую точку, например, $(2, 9)$. Подставим в найденную функцию: $y_3 = 3^2 = 9$. Это значение соответствует точке на графике.
Ответ: $a = 3$.