Номер 2.21, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.21. Определите, пересекает ли график функции $y = 3^x$ прямую:

а) $x = 3$;

б) $y = 2$;

в) $x = -15$;

г) $y = 34$;

д) $x = -57,2$;

е) $y = -6$.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать свойства показательной функции $y = 3^x$.

Область определения этой функции (все возможные значения $x$) — это все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений этой функции (все возможные значения $y$) — это все положительные действительные числа, то есть $y \in (0; +\infty)$.

Пересечение графика функции с прямой существует, если существует хотя бы одна точка, удовлетворяющая как уравнению функции, так и уравнению прямой.

а) $x = 3$
Прямая $x=3$ — это вертикальная прямая. Пересечение графика функции с этой прямой существует, если значение $x=3$ входит в область определения функции. Область определения функции $y=3^x$ — все действительные числа. Следовательно, $x=3$ входит в область определения. При $x=3$ значение функции равно $y = 3^3 = 27$. Точка пересечения — $(3, 27)$. Таким образом, график функции пересекает данную прямую.
Ответ: да, пересекает.

б) $y = 2$
Прямая $y=2$ — это горизонтальная прямая. Пересечение графика функции с этой прямой существует, если значение $y=2$ входит в область значений функции. Область значений функции $y=3^x$ — все положительные числа ($y > 0$). Так как $2 > 0$, то значение $y=2$ входит в область значений функции. Для нахождения точки пересечения нужно решить уравнение $3^x = 2$. Решением этого уравнения является $x = \log_3 2$. Таким образом, график функции пересекает данную прямую в точке $(\log_3 2, 2)$.
Ответ: да, пересекает.

в) $x = -15$
Прямая $x=-15$ — это вертикальная прямая. Так как область определения функции $y=3^x$ — все действительные числа, то $x=-15$ принадлежит области определения. При $x=-15$ значение функции равно $y = 3^{-15}$. Точка пересечения — $(-15, 3^{-15})$. Следовательно, график функции пересекает данную прямую.
Ответ: да, пересекает.

г) $y = 34$
Прямая $y=34$ — это горизонтальная прямая. Область значений функции $y=3^x$ — это $y > 0$. Поскольку $34 > 0$, данное значение входит в область значений функции. Уравнение $3^x = 34$ имеет решение $x = \log_3 34$. Точка пересечения — $(\log_3 34, 34)$. Следовательно, график функции пересекает данную прямую.
Ответ: да, пересекает.

д) $x = -57,2$
Прямая $x=-57,2$ — это вертикальная прямая. Значение $x=-57,2$ входит в область определения функции $y=3^x$, которая является множеством всех действительных чисел. При $x=-57,2$ значение функции равно $y = 3^{-57,2}$. Точка пересечения — $(-57,2; 3^{-57,2})$. Таким образом, график функции пересекает данную прямую.
Ответ: да, пересекает.

е) $y = -6$
Прямая $y=-6$ — это горизонтальная прямая. Область значений показательной функции $y=3^x$ — это все положительные числа ($y > 0$). Так как $-6$ является отрицательным числом, оно не входит в область значений функции. Уравнение $3^x = -6$ не имеет действительных решений, потому что показательная функция с основанием больше 1 всегда положительна. Следовательно, график функции не пересекает данную прямую.
Ответ: нет, не пересекает.