Номер 2.16, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.16. Сравните m и n, если:

а) $0,8^m > 0,8^n$;

б) $7,1^m < 7,1^n$;

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^m < \left(\frac{1}{3}\right)^n$;

г) $(\sqrt{2})^m > (\sqrt{2})^n$;

д) $(\sqrt[3]{5})^m < (\sqrt[3]{5})^n$;

е) $0,1^m > 0,1^n$.

Для решения данной задачи используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует большее значение функции. Таким образом, если $a^m > a^n$, то $m > n$, а если $a^m < a^n$, то $m < n$. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, если $a^m > a^n$, то $m < n$, а если $a^m < a^n$, то $m > n$. Знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

а) $0,8^m > 0,8^n$

Основание степени $a = 0,8$. Так как $0 < 0,8 < 1$, показательная функция $y = 0,8^x$ является убывающей. Следовательно, из неравенства $0,8^m > 0,8^n$ следует, что знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

$m < n$

Ответ: $m < n$.

б) $7,1^m < 7,1^n$

Основание степени $a = 7,1$. Так как $7,1 > 1$, показательная функция $y = 7,1^x$ является возрастающей. Следовательно, из неравенства $7,1^m < 7,1^n$ следует, что знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

$m < n$

Ответ: $m < n$.

в) $(\frac{1}{3})^m < (\frac{1}{3})^n$

Основание степени $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Следовательно, из неравенства $(\frac{1}{3})^m < (\frac{1}{3})^n$ следует, что знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

$m > n$

Ответ: $m > n$.

г) $(\sqrt{2})^m > (\sqrt{2})^n$

Основание степени $a = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $a > 1$. Показательная функция $y = (\sqrt{2})^x$ является возрастающей. Следовательно, из неравенства $(\sqrt{2})^m > (\sqrt{2})^n$ следует, что знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

$m > n$

Ответ: $m > n$.

д) $(\sqrt[3]{5})^m < (\sqrt[3]{5})^n$

Основание степени $a = \sqrt[3]{5}$. Так как $1^3=1$ и $5 > 1$, то $\sqrt[3]{5} > \sqrt[3]{1} = 1$. Значит, $a > 1$. Показательная функция $y = (\sqrt[3]{5})^x$ является возрастающей. Следовательно, из неравенства $(\sqrt[3]{5})^m < (\sqrt[3]{5})^n$ следует, что знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

$m < n$

Ответ: $m < n$.

е) $0,1^m > 0,1^n$

Основание степени $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, показательная функция $y = 0,1^x$ является убывающей. Следовательно, из неравенства $0,1^m > 0,1^n$ следует, что знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

$m < n$

Ответ: $m < n$.