Номер 2.18, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.18. Найдите, при каком значении $a$ график функции $y = a^x$ проходит через точку:

а) $P(1; 2);$

б) $B(-2; 4);$

в) $K(-3; \frac{1}{27}).$

Чтобы найти значение a, при котором график функции $y = a^x$ проходит через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции и решить полученное уравнение относительно a. При этом следует помнить, что для показательной функции основание a должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

а) P(1; 2)

Подставим координаты точки P(1; 2), где $x = 1$ и $y = 2$, в уравнение функции $y = a^x$:
$2 = a^1$
Отсюда сразу получаем, что $a = 2$.
Значение $a = 2$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $a = 2$.

б) B(-2; 4)

Подставим координаты точки B(-2; 4), где $x = -2$ и $y = 4$, в уравнение функции $y = a^x$:
$4 = a^{-2}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем уравнение:
$4 = \frac{1}{a^2}$
Отсюда выразим $a^2$:
$a^2 = \frac{1}{4}$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для a: $a = \frac{1}{2}$ или $a = -\frac{1}{2}$.
Так как основание показательной функции должно быть положительным ($a > 0$), выбираем $a = \frac{1}{2}$. Это значение также удовлетворяет условию $a \neq 1$.

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

в) K(-3; $\frac{1}{27}$)

Подставим координаты точки K(-3; $\frac{1}{27}$), где $x = -3$ и $y = \frac{1}{27}$, в уравнение функции $y = a^x$:
$\frac{1}{27} = a^{-3}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{a^3}$
Из этого равенства следует, что:
$a^3 = 27$
Чтобы найти a, извлечем кубический корень из 27:
$a = \sqrt[3]{27}$
$a = 3$
Значение $a = 3$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $a = 3$.