Номер 2.17, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.17. Используйте свойства показательной функции и сравните значение числового выражения с единицей:

а) $4^{-1.7}$;

б) $(\sqrt{3})^{1.2}$;

в) $(\frac{1}{2})^{4.5}$;

г) $1.7^{-\frac{1}{5}}$;

д) $(\frac{1}{8})^{-\sqrt{3}}$.

Для сравнения значения числового выражения вида $a^x$ с единицей, необходимо использовать свойства показательной функции $y = a^x$. Ключевым является тот факт, что любое число в нулевой степени равно единице, то есть $a^0 = 1$ (при $a > 0, a \neq 1$).

Свойства, которые мы будем использовать:

1. Если основание $a > 1$, то показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
- Если показатель $x > 0$, то $a^x > a^0$, и, следовательно, $a^x > 1$.
- Если показатель $x < 0$, то $a^x < a^0$, и, следовательно, $a^x < 1$.

2. Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
- Если показатель $x > 0$, то $a^x < a^0$, и, следовательно, $a^x < 1$.
- Если показатель $x < 0$, то $a^x > a^0$, и, следовательно, $a^x > 1$.

а) Сравнить $4^{-1,7}$ с единицей.

Рассмотрим выражение $4^{-1,7}$.
Основание степени $a = 4$. Так как $4 > 1$, то показательная функция с этим основанием является возрастающей.
Показатель степени $x = -1,7$. Так как $-1,7 < 0$.
Для возрастающей функции, если показатель меньше нуля, то значение степени меньше единицы. Сравним с $1 = 4^0$.
Поскольку функция возрастающая и $-1,7 < 0$, то $4^{-1,7} < 4^0$.
Следовательно, $4^{-1,7} < 1$.
Ответ: $4^{-1,7} < 1$.

б) Сравнить $(\sqrt{3})^{1,2}$ с единицей.

Рассмотрим выражение $(\sqrt{3})^{1,2}$.
Основание степени $a = \sqrt{3}$. Так как $3 > 1$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$. Показательная функция с этим основанием является возрастающей.
Показатель степени $x = 1,2$. Так как $1,2 > 0$.
Для возрастающей функции, если показатель больше нуля, то значение степени больше единицы. Сравним с $1 = (\sqrt{3})^0$.
Поскольку функция возрастающая и $1,2 > 0$, то $(\sqrt{3})^{1,2} > (\sqrt{3})^0$.
Следовательно, $(\sqrt{3})^{1,2} > 1$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{1,2} > 1$.

в) Сравнить $(\frac{1}{2})^{4,5}$ с единицей.

Рассмотрим выражение $(\frac{1}{2})^{4,5}$.
Основание степени $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, то показательная функция с этим основанием является убывающей.
Показатель степени $x = 4,5$. Так как $4,5 > 0$.
Для убывающей функции, если показатель больше нуля, то значение степени меньше единицы. Сравним с $1 = (\frac{1}{2})^0$.
Поскольку функция убывающая и $4,5 > 0$, то $(\frac{1}{2})^{4,5} < (\frac{1}{2})^0$.
Следовательно, $(\frac{1}{2})^{4,5} < 1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{4,5} < 1$.

г) Сравнить $1,7^{-\frac{1}{5}}$ с единицей.

Рассмотрим выражение $1,7^{-\frac{1}{5}}$.
Основание степени $a = 1,7$. Так как $1,7 > 1$, то показательная функция с этим основанием является возрастающей.
Показатель степени $x = -\frac{1}{5}$. Так как $-\frac{1}{5} < 0$.
Для возрастающей функции, если показатель меньше нуля, то значение степени меньше единицы. Сравним с $1 = 1,7^0$.
Поскольку функция возрастающая и $-\frac{1}{5} < 0$, то $1,7^{-\frac{1}{5}} < 1,7^0$.
Следовательно, $1,7^{-\frac{1}{5}} < 1$.
Ответ: $1,7^{-\frac{1}{5}} < 1$.

д) Сравнить $(\frac{1}{8})^{-\sqrt{3}}$ с единицей.

Рассмотрим выражение $(\frac{1}{8})^{-\sqrt{3}}$.
Основание степени $a = \frac{1}{8}$. Так как $0 < \frac{1}{8} < 1$, то показательная функция с этим основанием является убывающей.
Показатель степени $x = -\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, то $-\sqrt{3} < 0$.
Для убывающей функции, если показатель меньше нуля, то значение степени больше единицы. Сравним с $1 = (\frac{1}{8})^0$.
Поскольку функция убывающая и $-\sqrt{3} < 0$, то $(\frac{1}{8})^{-\sqrt{3}} > (\frac{1}{8})^0$.
Следовательно, $(\frac{1}{8})^{-\sqrt{3}} > 1$.
Ответ: $(\frac{1}{8})^{-\sqrt{3}} > 1$.