Номер 2.12, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.12. Постройте график функции:

а) $y = 2^{-x}$

б) $y = 2^{2x}$

в) $y = (\sqrt{3})^{-2x}$

г) $y = 81 \cdot 3^{x-4}$

а) $y = 2^{-x}$

Для построения графика функции преобразуем данное выражение, используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $y = 2^{-x} = (2^{-1})^x = (\frac{1}{2})^x$.

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как основание $0 < a < 1$ ($0 < \frac{1}{2} < 1$), функция является убывающей на всей области определения. График проходит через точку $(0, 1)$, так как $(\frac{1}{2})^0 = 1$.

Найдем несколько ключевых точек для построения графика:

• при $x = 1$, $y = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$;
• при $x = 2$, $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$;
• при $x = -1$, $y = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$;
• при $x = -2$, $y = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$.

Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$. График представляет собой кривую, которая проходит через точки $(-2, 4)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$, $(2, 1/4)$ и приближается к оси абсцисс справа. Также можно отметить, что график функции $y = 2^{-x}$ симметричен графику функции $y = 2^x$ относительно оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = 2^{-x}$ — это убывающая показательная кривая (экспонента) с основанием $1/2$. Он проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.

б) $y = 2^{2x}$

Преобразуем выражение, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $y = 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a = 4$. Так как основание $a > 1$ ($4 > 1$), функция является возрастающей на всей области определения. График проходит через точку $(0, 1)$, так как $4^0 = 1$.

Найдем несколько ключевых точек:

• при $x = 1$, $y = 4^1 = 4$;
• при $x = 1/2$, $y = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$;
• при $x = -1$, $y = 4^{-1} = \frac{1}{4}$;
• при $x = -1/2$, $y = 4^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.

Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$. График можно также получить из графика функции $y=2^x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

Ответ: График функции $y = 2^{2x}$ — это возрастающая показательная кривая (экспонента) с основанием $4$. Он проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

в) $y = (\sqrt{3})^{-2x}$

Упростим данное выражение, используя свойства степеней: $y = (\sqrt{3})^{-2x} = ((\sqrt{3})^2)^{-x} = 3^{-x} = (3^{-1})^x = (\frac{1}{3})^x$.

Мы получили показательную функцию вида $y = a^x$ с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$ ($0 < \frac{1}{3} < 1$), функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$, так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Найдем несколько ключевых точек:

• при $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$;
• при $x = 2$, $y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$;
• при $x = -1$, $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$;
• при $x = -2$, $y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$.

Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = (\sqrt{3})^{-2x}$ после упрощения до $y = (\frac{1}{3})^x$ представляет собой убывающую показательную кривую. Он проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.

г) $y = 81 \cdot 3^{x-4}$

Для построения графика сначала упростим выражение. Представим число $81$ как степень с основанием $3$: $81 = 3^4$. Подставим это в исходное уравнение: $y = 3^4 \cdot 3^{x-4}$.

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $y = 3^{4 + (x-4)} = 3^{4+x-4} = 3^x$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = 3^x$. Это стандартная показательная функция с основанием $a = 3$. Так как основание $a > 1$ ($3 > 1$), функция является возрастающей. График проходит через точку $(0, 1)$, так как $3^0 = 1$.

Найдем несколько ключевых точек:

• при $x = 1$, $y = 3^1 = 3$;
• при $x = 2$, $y = 3^2 = 9$;
• при $x = -1$, $y = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 81 \cdot 3^{x-4}$ совпадает с графиком функции $y = 3^x$. Это возрастающая показательная кривая, проходящая через точки $(-1, 1/3)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.