Номер 2.8, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.8. Постройте график функции:

а) $y = 2^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

а) Для построения графика функции $y = 2^x$ необходимо проанализировать ее свойства и найти несколько точек, принадлежащих графику.

1. Свойства функции.
Функция $y = 2^x$ является показательной. Основание степени $a=2$, и так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График функции полностью расположен в верхней полуплоскости.
- Асимптота: Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.
- Пересечение с осями: График пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $y(0) = 2^0 = 1$. Пересечений с осью абсцисс нет.

2. Таблица значений.
Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента $x$:

3. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости точки $(-2; \frac{1}{4})$, $(-1; \frac{1}{2})$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$, $(3; 8)$ и соединим их плавной линией. Полученная кривая будет экспонентой, которая слева приближается к оси $Ox$, а справа быстро возрастает.

Ответ: График функции $y=2^x$ — это гладкая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$, возрастающая на всей области определения и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

б) Для построения графика функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ выполним аналогичные действия.

1. Свойства функции.
Функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ является показательной. Основание степени $a=\frac{1}{3}$, и так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения. Её также можно записать как $y = 3^{-x}$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График функции также полностью расположен в верхней полуплоскости.
- Асимптота: Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
- Пересечение с осями: График пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $y(0) = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Пересечений с осью абсцисс нет.

2. Таблица значений.
Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента $x$:

3. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости точки $(-2; 9)$, $(-1; 3)$, $(0; 1)$, $(1; \frac{1}{3})$, $(2; \frac{1}{9})$ и соединим их плавной линией. Полученная кривая будет экспонентой, которая убывает на всей области определения, слева уходя в бесконечность, а справа приближаясь к оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ — это гладкая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$, убывающая на всей области определения и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.