Номер 2.10, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.10. Из данных точек выберите точки, принадлежащие графику функции $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x$:

а) A(0; 1);

б) B(-1; 7);

в) C(-2; -49);

г) D($\log_{\frac{1}{7}} 5; 5$);

д) E($\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{7}}{7}$);

е) F($-\frac{1}{3}; -21$).

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = (\frac{1}{7})^x$. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

а) Проверим точку $A(0; 1)$.
Подставляем координаты $x = 0$ и $y = 1$ в уравнение функции:
$y = (\frac{1}{7})^0$
$y = 1$
Полученное значение $y=1$ совпадает с ординатой точки A. Равенство $1 = 1$ верное.
Ответ: точка A(0; 1) принадлежит графику функции.

б) Проверим точку $B(-1; 7)$.
Подставляем координаты $x = -1$ и $y = 7$ в уравнение функции:
$y = (\frac{1}{7})^{-1} = \frac{1}{1/7} = 7$
Полученное значение $y=7$ совпадает с ординатой точки B. Равенство $7 = 7$ верное.
Ответ: точка B(-1; 7) принадлежит графику функции.

в) Проверим точку $C(-2; -49)$.
Подставляем координату $x = -2$ в уравнение функции:
$y = (\frac{1}{7})^{-2} = 7^2 = 49$
Полученное значение $y=49$ не совпадает с ординатой точки C, которая равна $-49$. Равенство $-49 = 49$ неверное. Кроме того, значение показательной функции $y = a^x$ при $a>0$ всегда положительно, поэтому $y$ не может быть равен $-49$.
Ответ: точка C(-2; -49) не принадлежит графику функции.

г) Проверим точку $D(\log_{\frac{1}{7}} 5; 5)$.
Подставляем координату $x = \log_{\frac{1}{7}} 5$ в уравнение функции:
$y = (\frac{1}{7})^{\log_{\frac{1}{7}} 5}$
Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$y = 5$
Полученное значение $y=5$ совпадает с ординатой точки D. Равенство $5 = 5$ верное.
Ответ: точка D($\log_{\frac{1}{7}} 5$; 5) принадлежит графику функции.

д) Проверим точку $E(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{7}}{7})$.
Подставляем координату $x = \frac{1}{2}$ в уравнение функции:
$y = (\frac{1}{7})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$y = \frac{1 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$
Полученное значение $y=\frac{\sqrt{7}}{7}$ совпадает с ординатой точки E. Равенство $\frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ верное.
Ответ: точка E($\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{7}}{7}$) принадлежит графику функции.

е) Проверим точку $F(-\frac{1}{3}; -21)$.
Подставляем координату $x = -\frac{1}{3}$ в уравнение функции:
$y = (\frac{1}{7})^{-\frac{1}{3}} = 7^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{7}$
Полученное значение $y=\sqrt[3]{7}$ не совпадает с ординатой точки F, которая равна $-21$. Равенство $-21 = \sqrt[3]{7}$ неверное. Как и в пункте в), значение показательной функции не может быть отрицательным.
Ответ: точка F($-\frac{1}{3}$; -21) не принадлежит графику функции.

Итого, графику функции $y = (\frac{1}{7})^x$ принадлежат точки A, B, D, E.