Номер 2.7, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.7. Выберите функцию, графика которой нет на рисунке 11:

а) $y = (\frac{1}{2})^x$;

б) $y = 3^x$;

в) $y = (\frac{1}{3})^x$;

г) $y = 0,2^x$.

Рис. 11

Чтобы определить, график какой функции отсутствует на рисунке, проанализируем каждую из предложенных функций и сопоставим их с графиками на рисунке 11.

Все предложенные функции являются показательными функциями вида $y = a^x$. Общей особенностью таких функций является то, что их графики проходят через точку $(0, 1)$, так как $a^0 = 1$ для любого $a > 0, a \neq 1$. Все три графика на рисунке удовлетворяют этому свойству.

Вспомним, что если основание $a > 1$, функция является возрастающей, а если $0 < a < 1$, — убывающей. На рисунке изображен один график возрастающей функции (синий) и два графика убывающих функций (красный и зеленый).

а) $y = (\frac{1}{2})^x$

Основание $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей. Для проверки найдем значение функции в контрольной точке $x = -1$: $y = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$. Точка $(-1, 2)$ лежит на красном графике. Следовательно, красный график соответствует функции $y = (\frac{1}{2})^x$.

б) $y = 3^x$

Основание $a = 3$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей. Для проверки найдем значение функции в контрольной точке $x = 1$: $y = 3^1 = 3$. Точка $(1, 3)$ лежит на синем графике. Следовательно, синий график соответствует функции $y = 3^x$.

в) $y = (\frac{1}{3})^x$

Основание $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей. Для проверки найдем значение функции в контрольной точке $x = -1$: $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$. Точка $(-1, 3)$ лежит на зеленом графике. Следовательно, зеленый график соответствует функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

г) $y = 0,2^x$

Представим основание $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Функция имеет вид $y = (\frac{1}{5})^x$. Основание $a = \frac{1}{5}$. Так как $0 < \frac{1}{5} < 1$, функция является убывающей. Найдем значение функции в контрольной точке $x = -1$: $y = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$. На рисунке нет графика, проходящего через точку $(-1, 5)$. Таким образом, график функции $y = 0,2^x$ на рисунке отсутствует.

Таким образом, на рисунке представлены графики функций из пунктов а), б) и в). Функция из пункта г) на рисунке не изображена.

Ответ: г) $y = 0,2^x$.