Номер 2.11, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.11. Проходит ли график функции $y = (\sqrt{5})^x$ через точку A, если:

a) A(0; 1);

б) A(2; 5);

в) A(-4; $-\frac{1}{25}$);

г) A($\frac{1}{2}$; $\sqrt[4]{5}$);

д) A(3; $5\sqrt{5}$);

е) A($\log_5 9$; 3)?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = (\sqrt{5})^x$ через заданную точку A, необходимо подставить координаты точки ($x_0; y_0$) в уравнение функции. Если в результате подстановки $y_0 = (\sqrt{5})^{x_0}$ получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику функции.

а) A(0; 1)

Подставляем координаты точки $x = 0$ и $y = 1$ в уравнение функции:

$1 = (\sqrt{5})^0$

Согласно свойству степени, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Поэтому $(\sqrt{5})^0 = 1$.

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку A(0; 1).

Ответ: Да.

б) A(2; 5)

Подставляем $x = 2$ и $y = 5$ в уравнение функции:

$5 = (\sqrt{5})^2$

По определению квадратного корня, $(\sqrt{5})^2 = 5$.

$5 = 5$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку A(2; 5).

Ответ: Да.

в) A(-4; $-\frac{1}{25}$)

Подставляем $x = -4$ и $y = -\frac{1}{25}$ в уравнение функции:

$-\frac{1}{25} = (\sqrt{5})^{-4}$

Вычислим значение выражения в правой части: $(\sqrt{5})^{-4} = \frac{1}{(\sqrt{5})^4} = \frac{1}{((\sqrt{5})^2)^2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Получаем равенство: $-\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$, которое является неверным.

Кроме того, показательная функция $y = a^x$ с основанием $a > 0$ (в нашем случае $a=\sqrt{5}$) может принимать только положительные значения ($y > 0$), а ордината точки A отрицательна.

Следовательно, график функции не проходит через точку A(-4; $-\frac{1}{25}$).

Ответ: Нет.

г) A($\frac{1}{2}$; $\sqrt[4]{5}$)

Подставляем $x = \frac{1}{2}$ и $y = \sqrt[4]{5}$ в уравнение функции:

$\sqrt[4]{5} = (\sqrt{5})^{\frac{1}{2}}$

Для проверки равенства представим обе части в виде степени с основанием 5. Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$.

Левая часть: $\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$.

Правая часть: $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} = (5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{4}}$.

Получаем верное равенство: $5^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{4}}$.

Следовательно, график функции проходит через точку A($\frac{1}{2}$; $\sqrt[4]{5}$).

Ответ: Да.

д) A(3; $5\sqrt{5}$)

Подставляем $x = 3$ и $y = 5\sqrt{5}$ в уравнение функции:

$5\sqrt{5} = (\sqrt{5})^3$

Вычислим правую часть: $(\sqrt{5})^3 = (\sqrt{5})^2 \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Получаем верное равенство: $5\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Следовательно, график функции проходит через точку A(3; $5\sqrt{5}$).

Ответ: Да.

е) A($\log_5 9$; 3)

Подставляем $x = \log_5 9$ и $y = 3$ в уравнение функции:

$3 = (\sqrt{5})^{\log_5 9}$

Преобразуем правую часть равенства, используя свойства степеней и логарифмов:

$(\sqrt{5})^{\log_5 9} = (5^{\frac{1}{2}})^{\log_5 9} = 5^{\frac{1}{2}\log_5 9} = 5^{\log_5 (9^{\frac{1}{2}})} = 5^{\log_5 \sqrt{9}} = 5^{\log_5 3}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$5^{\log_5 3} = 3$

Получаем верное равенство: $3 = 3$.

Следовательно, график функции проходит через точку A($\log_5 9$; 3).

Ответ: Да.