Номер 2.15, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.15. Сравните значения $y_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$; $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{1,5}$; $y_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{1}$; $y_4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{0,7}$ показательной функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и расположите их в порядке возрастания.

Чтобы сравнить значения $y_1 = (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$, $y_2 = (\frac{1}{2})^{1.5}$, $y_3 = (\frac{1}{2})^1$, $y_4 = (\frac{1}{2})^{0.7}$, мы используем свойства показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$.

Основание этой функции $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух значений аргумента $x_a$ и $x_b$, если $x_a > x_b$, то соответствующее значение функции будет меньше: $(\frac{1}{2})^{x_a} < (\frac{1}{2})^{x_b}$.

Следовательно, чтобы расположить значения $y_1, y_2, y_3, y_4$ в порядке возрастания (от меньшего к большему), нам нужно сначала сравнить их показатели степени и расположить их в обратном, то есть в порядке убывания (от большего к меньшему).

Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$, $1.5$, $1$ и $0.7$.

• Сравним $\sqrt{2}$ и $1.5$. Для этого возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $(1.5)^2 = 2.25$. Поскольку $2 < 2.25$, то $\sqrt{2} < 1.5$.
• Теперь мы можем упорядочить все показатели. Приблизительное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Расположим показатели в порядке убывания: $1.5 > \sqrt{2} > 1 > 0.7$

Так как функция $y = (\frac{1}{2})^x$ является убывающей, то для этих показателей будет выполняться обратное неравенство для значений функции: $(\frac{1}{2})^{1.5} < (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < (\frac{1}{2})^1 < (\frac{1}{2})^{0.7}$

Подставив исходные обозначения, получаем: $y_2 < y_1 < y_3 < y_4$

Таким образом, значения в порядке возрастания располагаются как $y_2, y_1, y_3, y_4$.

Ответ: $y_2, y_1, y_3, y_4$.