Номер 2.22, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.22. Постройте график функции $ y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} - 2 $ и опишите ее свойства.

Построение графика функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} - 2$

График данной функции получается из графика базовой показательной функции $y_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ с помощью последовательных геометрических преобразований.

1. Строим график функции $y_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Это убывающая показательная функция, которая проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).
2. Сдвигаем график $y_0$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+3}$. Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(-3, 1)$, а асимптота $y=0$ сохраняется.
3. Сдвигаем полученный график $y_1$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} - 2$. Точка $(-3, 1)$ переходит в точку $(-3, -1)$, а горизонтальная асимптота смещается и становится прямой $y=-2$.

Для более точного построения найдем точки пересечения графика с осями координат и вычислим несколько дополнительных точек.

• Пересечение с осью Oy ($x=0$):
  $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{0+3} - 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 2 = \frac{1}{8} - 2 = -\frac{15}{8} = -1.875$.
  Точка пересечения с Oy: $(0; -1.875)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$):
  $0 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} - 2 \implies 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} \implies 2^1 = (2^{-1})^{x+3} \implies 2^1 = 2^{-x-3}$.
  $1 = -x-3 \implies x = -4$.
  Точка пересечения с Ox: $(-4; 0)$.

Составим таблицу значений:

На координатной плоскости строим горизонтальную асимптоту $y=-2$, отмечаем вычисленные точки $(-5, 2)$, $(-4, 0)$, $(-3, -1)$, $(-2, -1.5)$, $(0, -1.875)$ и соединяем их плавной убывающей кривой.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} - 2$ — это экспонента, полученная сдвигом графика $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ на 3 единицы влево и 2 единицы вниз. График убывает на всей области определения, имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$ и пересекает оси координат в точках $(-4; 0)$ и $(0; -1.875)$.

Описание свойств функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} - 2$

1. Область определения: функция определена для всех действительных значений $x$.
   $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: показательная функция $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3}$ принимает только положительные значения, поэтому $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} > 0$. Следовательно, $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} - 2 > -2$.
   $E(y) = (-2; +\infty)$.
3. Четность и нечетность: функция является функцией общего вида, так как ее область определения симметрична относительно нуля, но $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.
   $y(-x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x+3} - 2$.
4. Нули функции: $y=0$ при $x=-4$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • $y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty; -4)$.
   • $y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-4; +\infty)$.
6. Монотонность: основание степени $a=\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, поэтому функция является строго убывающей на всей области определения.
7. Экстремумы: точек максимума и минимума нет.
8. Асимптоты: есть горизонтальная асимптота $y=-2$ при $x \to +\infty$. Вертикальных асимптот нет.

Ответ: Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-2; +\infty)$.
• Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
• Нуль функции: $x=-4$.
• Положительна при $x < -4$, отрицательна при $x > -4$.
• Строго убывает на $(-\infty; +\infty)$.
• Не имеет экстремумов.
• Горизонтальная асимптота $y=-2$.