Номер 2.26, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.26. Выберите последовательность действий и найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = 2^x$ на отрезке $[-2; 3];$

б) $y = 3^{-x}$ на отрезке $[-1; 2].$

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2^x$ на отрезке $[-2; 3]$ определим ее свойства. Данная функция является показательной с основанием $a = 2$. Так как основание $a > 1$, функция монотонно возрастает на всей своей области определения. Это означает, что на заданном отрезке наименьшее значение функция примет в его левой границе, а наибольшее — в правой.
Вычисляем значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение при $x = -2$: $y_{наим} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Наибольшее значение при $x = 3$: $y_{наиб} = 2^3 = 8$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, а наибольшее — $8$.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 3^{-x}$ на отрезке $[-1; 2]$ преобразуем её: $y = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$. Данная функция является показательной с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция монотонно убывает на всей своей области определения. Это означает, что на заданном отрезке наибольшее значение функция примет в его левой границе, а наименьшее — в правой.
Вычисляем значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение при $x = -1$: $y_{наиб} = 3^{-(-1)} = 3^1 = 3$.
Наименьшее значение при $x = 2$: $y_{наим} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{9}$, а наибольшее — $3$.