Номер 2.33, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.33. Показательная функция задана формулой $f(x) = 2^x$. Найдите:

а) $f(1)$;

б) $f(5)$;

в) $f(0)$;

г) $f(-1)$;

д) $f(-3)$;

е) $f(\frac{1}{2})$;

ж) $f(\log_2 5)$;

з) $f(\log_{0,5} 3)$.

а) Для нахождения $f(1)$ необходимо подставить значение $x=1$ в формулу функции $f(x) = 2^x$. В результате получаем: $f(1) = 2^1 = 2$. Ответ: $2$.

б) Подставляем $x=5$ в формулу функции: $f(5) = 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Ответ: $32$.

в) Подставляем $x=0$ в формулу функции. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $f(0) = 2^0 = 1$. Ответ: $1$.

г) Подставляем $x=-1$ в формулу функции. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Подставляем $x=-3$ в формулу функции: $f(-3) = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. Ответ: $\frac{1}{8}$.

е) Подставляем $x=\frac{1}{2}$ в формулу функции. Используем свойство степени с дробным показателем $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$: $f\left(\frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{2}$.

ж) Подставляем $x=\log_2 5$ в формулу функции. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $f(\log_2 5) = 2^{\log_2 5} = 5$. Ответ: $5$.

з) Подставляем $x=\log_{0.5} 3$ в формулу функции: $f(\log_{0.5} 3) = 2^{\log_{0.5} 3}$. Чтобы вычислить это значение, приведем логарифм к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Заметим, что $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда: $\log_{0.5} 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 0.5} = \frac{\log_2 3}{\log_2 (2^{-1})} = \frac{\log_2 3}{-1} = -\log_2 3$. Теперь подставляем полученное выражение в исходное: $2^{\log_{0.5} 3} = 2^{-\log_2 3} = 2^{\log_2 (3^{-1})} = 2^{\log_2 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$.