Номер 2.39, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.39. Выполните преобразование формулы и постройте график функции:

а) $y = 3^{-x}$;

б) $y = 8 \cdot 2^{x-3}$.

а) $y = 3^{-x}$
Для преобразования формулы воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$.
Применяя это свойство, получаем:$y = 3^{-x} = (3^{-1})^x = (\frac{1}{3})^x$.
Мы получили показательную функцию $y = (\frac{1}{3})^x$ с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.
Для построения графика найдем несколько контрольных точек:
- при $x = -2$, $y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$;
- при $x = -1$, $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$;
- при $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$;
- при $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$;
- при $x = 2$, $y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
График функции представляет собой кривую, проходящую через точки $(-2, 9)$, $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, 1/3)$. Он расположен в первой и второй координатных четвертях. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$. Также стоит отметить, что график функции $y = 3^{-x}$ является зеркальным отражением графика функции $y = 3^x$ относительно оси Oy.
Ответ: Преобразованная формула: $y = (\frac{1}{3})^x$. График — это убывающая показательная функция, проходящая через точку $(0,1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

б) $y = 8 \cdot 2^{x-3}$
Для преобразования формулы представим множитель 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$. Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Подставим $8=2^3$ в исходное уравнение:$y = 2^3 \cdot 2^{x-3}$.
Теперь сложим показатели степеней:$y = 2^{3 + (x-3)} = 2^{3+x-3} = 2^x$.
Таким образом, исходная формула после преобразования принимает вид $y = 2^x$.
Это основная показательная функция с основанием $a = 2$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
Для построения графика найдем несколько контрольных точек:
- при $x = -2$, $y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$;
- при $x = -1$, $y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$;
- при $x = 0$, $y = 2^0 = 1$;
- при $x = 1$, $y = 2^1 = 2$;
- при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$.
График функции представляет собой кривую, проходящую через точки $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Он расположен в первой и второй координатных четвертях. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.
Ответ: Преобразованная формула: $y = 2^x$. График — это возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0,1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.