Номер 2.36, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.36. Проходит ли график функции $y = 3^x$ через точку:

а) $A\left(-2; \frac{1}{9}\right);$

б) $B(4; 81);$

в) $C\left(\frac{1}{2}; \sqrt{3}\right);$

г) $D(\log_3 8; 8)?$

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = 3^x$. Если получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

а) Проверим точку $A(-2; \frac{1}{9})$.
Подставляем $x = -2$ в уравнение функции: $y = 3^{-2}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Полученное значение $y = \frac{1}{9}$ совпадает с ординатой точки $A$. Следовательно, график функции проходит через точку $A$.
Ответ: да, проходит.

б) Проверим точку $B(4; 81)$.
Подставляем $x = 4$ в уравнение функции: $y = 3^4$.
Вычисляем значение степени: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Полученное значение $y = 81$ совпадает с ординатой точки $B$. Следовательно, график функции проходит через точку $B$.
Ответ: да, проходит.

в) Проверим точку $C(\frac{1}{2}; \sqrt{3})$.
Подставляем $x = \frac{1}{2}$ в уравнение функции: $y = 3^{\frac{1}{2}}$.
По определению степени с дробным показателем $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$, имеем: $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.
Полученное значение $y = \sqrt{3}$ совпадает с ординатой точки $C$. Следовательно, график функции проходит через точку $C$.
Ответ: да, проходит.

г) Проверим точку $D(\log_3 8; 8)$.
Подставляем $x = \log_3 8$ в уравнение функции: $y = 3^{\log_3 8}$.
Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем: $3^{\log_3 8} = 8$.
Полученное значение $y = 8$ совпадает с ординатой точки $D$. Следовательно, график функции проходит через точку $D$.
Ответ: да, проходит.