Номер 2.43, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.43. Сравните $m$ и $n$, если:

а) $0,15^m < 0,15^n$;

б) $5,6^m < 5,6^n$;

В) $(\frac{1}{7})^m > (\frac{1}{7})^n$;

Г) $(\sqrt{5})^m < (\sqrt{5})^n$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что если $a^{x_1} < a^{x_2}$, то $x_1 < x_2$. Знак неравенства для показателей сохраняется.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что если $a^{x_1} < a^{x_2}$, то $x_1 > x_2$. Знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

а) Дано неравенство $0,15^m < 0,15^n$.

Основание степени $a = 0,15$. Так как $0 < 0,15 < 1$, показательная функция $y = 0,15^x$ является убывающей. Следовательно, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому из неравенства $0,15^m < 0,15^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

б) Дано неравенство $5,6^m < 5,6^n$.

Основание степени $a = 5,6$. Так как $5,6 > 1$, показательная функция $y = 5,6^x$ является возрастающей. Следовательно, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому из неравенства $5,6^m < 5,6^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.

в) Дано неравенство $(\frac{1}{7})^m > (\frac{1}{7})^n$.

Основание степени $a = \frac{1}{7}$. Так как $0 < \frac{1}{7} < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{7})^x$ является убывающей. Следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому из неравенства $(\frac{1}{7})^m > (\frac{1}{7})^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.

г) Дано неравенство $(\sqrt{5})^m < (\sqrt{5})^n$.

Основание степени $a = \sqrt{5}$. Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{5} > 1$. Основание больше единицы, поэтому показательная функция $y = (\sqrt{5})^x$ является возрастающей. Следовательно, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому из неравенства $(\sqrt{5})^m < (\sqrt{5})^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.