Номер 2.42, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.42. Сравните значения $y_1 = 2^{\sqrt{3}}$; $y_2 = 2^{1.8}$; $y_3 = 2^{1.5}$; $y_4 = 2^{0.99}$ показательной функции $y = 2^x$ и расположите их в порядке убывания.

Чтобы сравнить значения $y_1 = 2^{\sqrt{3}}$, $y_2 = 2^{1.8}$, $y_3 = 2^{1.5}$ и $y_4 = 2^{0.99}$, нужно рассмотреть свойства показательной функции $y = 2^x$. Основание этой функции $a=2$, и поскольку $a > 1$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Следовательно, чтобы расположить значения $y_1, y_2, y_3, y_4$ в порядке убывания, нам нужно сравнить их показатели степени: $\sqrt{3}$, $1.8$, $1.5$ и $0.99$ и расположить их в том же порядке.

Сравним показатели:

• Сравним $\sqrt{3}$ и $1.8$. Для этого возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$, а $(1.8)^2 = 3.24$. Так как $3.24 > 3$, то $1.8 > \sqrt{3}$.
• Используя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, мы можем сравнить его с остальными числами: $\sqrt{3} > 1.5$.
• Очевидно, что $1.5 > 0.99$.

Теперь мы можем выстроить все показатели в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему): $1.8 > \sqrt{3} > 1.5 > 0.99$.

Поскольку функция $y = 2^x$ возрастающая, то и значения функции будут находиться в той же зависимости: $2^{1.8} > 2^{\sqrt{3}} > 2^{1.5} > 2^{0.99}$.

Подставляя исходные обозначения, получаем: $y_2 > y_1 > y_3 > y_4$.

Таким образом, значения в порядке убывания располагаются так: $y_2, y_1, y_3, y_4$.

Ответ: $y_2, y_1, y_3, y_4$.