Номер 2.46, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.46. В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$;

б) $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}$;

в) $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$.

Для построения графиков всех трех функций мы сначала построим основной график для функции $y = f(x) = (\frac{1}{3})^x$, а затем применим к нему геометрические преобразования: сдвиг по горизонтали и сдвиг по вертикали.

а) $y = (\frac{1}{3})^x$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения. Область определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), область значений — все положительные числа ($E(y) = (0; +\infty)$). График функции не пересекает ось Ox, которая является его горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$.

Для построения найдем значения функции в нескольких контрольных точках: при $x = -2, y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$; при $x = -1, y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$; при $x = 0, y = (\frac{1}{3})^{0} = 1$; при $x = 1, y = (\frac{1}{3})^{1} = \frac{1}{3}$. Соединив точки $(-2, 9), (-1, 3), (0, 1), (1, \frac{1}{3})$ плавной кривой, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — это монотонно убывающая кривая, проходящая через точки $(-2, 9)$, $(-1, 3)$, $(0, 1)$ и $(1, \frac{1}{3})$. Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика.

б) $y = (\frac{1}{3})^{x+1}$

Данный график можно получить из графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$ (рассмотренного в пункте а)) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на 1 единицу влево. Это преобразование вида $y = f(x+1)$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика смещается в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Например, точка $(0, 1)$ смещается в $(-1, 1)$, точка $(-1, 3)$ смещается в $(-2, 3)$, а точка $(1, \frac{1}{3})$ смещается в $(0, \frac{1}{3})$. Горизонтальная асимптота остается прежней — $y=0$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^{x+1}$ получается путем сдвига графика $y = (\frac{1}{3})^x$ на 1 единицу влево. Он проходит через точки $(-2, 3)$, $(-1, 1)$, $(0, \frac{1}{3})$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

в) $y = (\frac{1}{3})^x - 2$

Данный график можно получить из графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$ (пункт а) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вниз. Это преобразование вида $y = f(x) - 2$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика смещается в точку $(x_0, y_0 - 2)$. Например, точка $(0, 1)$ смещается в $(0, -1)$, точка $(-1, 3)$ смещается в $(-1, 1)$, а точка $(-2, 9)$ смещается в $(-2, 7)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 2 единицы вниз и становится прямой $y=-2$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x - 2$ получается путем сдвига графика $y = (\frac{1}{3})^x$ на 2 единицы вниз. Он проходит через точки $(-2, 7)$, $(-1, 1)$, $(0, -1)$. Горизонтальная асимптота — $y=-2$.