Номер 2.53, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.53*. Найдите множество значений функции:

а) $y = 3^{|x+1|}$;

б) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{|x|} + 2$;

в) $y = 7^{x^2-2}$;

г) $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{(x+3)^2-1}$.

а) Рассмотрим функцию $y = 3^{|x+1|}$. Множество значений этой функции зависит от множества значений ее показателя степени, то есть выражения $|x+1|$.
По определению модуля, $|x+1| \ge 0$ для любых действительных значений $x$. Минимальное значение достигается при $x = -1$ и равно $0$. Максимального значения нет, так как при $x \to \infty$, $|x+1| \to \infty$.
Таким образом, множество значений показателя степени $t = |x+1|$ есть промежуток $[0, +\infty)$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y = 3^t$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении показателя, а с ростом показателя значение функции также возрастает.
Найдем наименьшее значение функции: $y_{min} = 3^0 = 1$.
Так как показатель может быть сколь угодно большим, то и значение функции может быть сколь угодно большим.
Следовательно, множество значений функции — это все числа от 1 включительно до плюс бесконечности.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = (\frac{1}{7})^{|x|} + 2$. Сначала найдем множество значений выражения $(\frac{1}{7})^{|x|}$.
Показатель степени $|x|$ принимает значения из промежутка $[0, +\infty)$.
Основание степени $a = \frac{1}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Поэтому показательная функция $y = (\frac{1}{7})^t$ является убывающей.
Это означает, что наибольшее значение функция примет при наименьшем значении показателя, а при увеличении показателя значение функции будет уменьшаться, стремясь к нулю.
Наименьшее значение показателя $|x|$ равно $0$. Соответствующее наибольшее значение выражения: $(\frac{1}{7})^0 = 1$.
При $x \to \pm\infty$, $|x| \to +\infty$, и $(\frac{1}{7})^{|x|} \to 0$.
Таким образом, множество значений выражения $(\frac{1}{7})^{|x|}$ есть полуинтервал $(0, 1]$.
Исходная функция $y$ получается из выражения $(\frac{1}{7})^{|x|}$ прибавлением числа 2. Это соответствует сдвигу графика вверх на 2 единицы. Следовательно, множество значений функции также сдвигается на 2.
Множество значений функции $y$ будет $(0+2, 1+2]$, то есть $(2, 3]$.
Ответ: $E(y) = (2; 3]$.

в) Рассмотрим функцию $y = 7^{x^2} - 2$. Найдем множество значений показателя степени $t = x^2$.
Выражение $x^2$ принимает только неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Множество значений показателя: $[0, +\infty)$.
Основание степени $a=7$ больше 1, поэтому функция $y = 7^t$ является возрастающей.
Наименьшее значение выражение $7^{x^2}$ примет при наименьшем значении показателя, то есть при $x^2 = 0$. Это значение равно $7^0 = 1$.
При $x^2 \to +\infty$, значение $7^{x^2} \to +\infty$.
Таким образом, множество значений выражения $7^{x^2}$ есть промежуток $[1, +\infty)$.
Исходная функция $y$ получается вычитанием 2 из $7^{x^2}$, что соответствует сдвигу графика вниз на 2 единицы. Следовательно, множество значений функции $y$ будет $[1-2, +\infty)$, то есть $[-1, +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [-1; +\infty)$.

г) Рассмотрим функцию $y = (\frac{1}{4})^{(x+3)^2-1}$. Найдем множество значений показателя степени $t = (x+3)^2 - 1$.
Выражение $(x+3)^2$ всегда неотрицательно: $(x+3)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, достигается при $x = -3$.
Следовательно, наименьшее значение показателя $t$ равно $0 - 1 = -1$. Таким образом, множество значений показателя $t = (x+3)^2 - 1$ есть промежуток $[-1, +\infty)$.
Основание степени $a = \frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция $y = (\frac{1}{4})^t$ является убывающей.
Наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $t = -1$. $y_{max} = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$.
При $t \to +\infty$, значение функции $y = (\frac{1}{4})^t \to 0$.
Поскольку показательная функция всегда принимает строго положительные значения, $y>0$.
Таким образом, множество значений функции $y$ есть полуинтервал $(0, 4]$.
Ответ: $E(y) = (0; 4]$.