Номер 2.59, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.59. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции $y = \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{8} - \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{8}$ и прямой $y = \frac{1}{2}$.

Для нахождения абсцисс точек пересечения графика функции и прямой необходимо приравнять их уравнения. Нам даны:

1. Функция: $y = \sin x \cdot \cos\frac{\pi}{8} - \cos x \cdot \sin\frac{\pi}{8}$

2. Прямая: $y = \frac{1}{2}$

Сначала упростим выражение для функции. Правая часть уравнения является развернутой формулой синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В данном случае, если принять $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$, то функция примет вид:

$y = \sin(x - \frac{\pi}{8})$

Теперь приравняем правые части уравнений функции и прямой, чтобы найти точки их пересечения:

$\sin(x - \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin t = a$ записывается как $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем уравнении $t = x - \frac{\pi}{8}$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в общую формулу решения:

$x - \frac{\pi}{8} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, перенесем $\frac{\pi}{8}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = \frac{\pi}{8} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Это выражение и является общим решением, то есть абсциссами всех точек пересечения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.