Номер 2.55, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.55. Представьте в виде степени с рациональным показателем выражение $\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{a}}$.

Чтобы представить выражение $\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{a}}$ в виде степени с рациональным показателем, воспользуемся свойствами корней и степеней.

1. Преобразуем каждый множитель в степень с рациональным показателем.

Первый множитель $\sqrt[3]{a^2}$. По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Применяя это правило, получаем:
$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$

Второй множитель $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$. Преобразуем его, используя свойство корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. В нашем случае квадратный корень имеет показатель $m=2$, а кубический — $n=3$:
$\sqrt{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a} = \sqrt[6]{a}$
Теперь представим полученный корень в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}$

2. Перемножим полученные степени.

Исходное выражение теперь можно записать как произведение двух степеней с одинаковым основанием $a$:
$a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{6}}$

3. Найдем сумму показателей.

Чтобы сложить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{6}$, приведем их к общему знаменателю, равному 6:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$
Теперь выполним сложение:
$\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, итоговый показатель степени равен $\frac{5}{6}$.

Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$