Номер 2.61, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.61. Представьте в виде произведения:

a) $5^{x+1} - 5^x$;

б) $3^{x-2} + 3^x$;

В) $2^{x-1} + 2^{x-1}$;

Г) $10^{x+2} - 5 \cdot 10^x$.

а) $5^{x+1} - 5^x$

Чтобы представить выражение в виде произведения, необходимо вынести общий множитель за скобки. Для этого воспользуемся свойством степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Представим слагаемое $5^{x+1}$ в виде $5^x \cdot 5^1$:

$5^{x+1} - 5^x = 5^x \cdot 5^1 - 5^x$

Теперь мы видим общий множитель $5^x$, который можно вынести за скобки:

$5^x \cdot (5 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$5^x \cdot 4 = 4 \cdot 5^x$

Ответ: $4 \cdot 5^x$

б) $3^{x-2} + 3^x$

Для вынесения общего множителя за скобки воспользуемся свойствами степеней. Выберем в качестве общего множителя степень с наименьшим показателем, то есть $3^{x-2}$.

Представим $3^x$ через $3^{x-2}$, используя свойство $a^m = a^{m-n} \cdot a^n$:

$3^x = 3^{(x-2)+2} = 3^{x-2} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{x-2}$

Подставим полученное выражение в исходное:

$3^{x-2} + 9 \cdot 3^{x-2}$

Вынесем общий множитель $3^{x-2}$ за скобки:

$3^{x-2} \cdot (1 + 9) = 3^{x-2} \cdot 10 = 10 \cdot 3^{x-2}$

Ответ: $10 \cdot 3^{x-2}$

в) $2^{x-1} + 2^{x-1}$

В данном выражении мы складываем два одинаковых слагаемых. Сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением. Также можно вынести общий множитель $2^{x-1}$ за скобки.

$2^{x-1} + 2^{x-1} = 2^{x-1} \cdot (1+1) = 2^{x-1} \cdot 2$

Далее используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{x-1} \cdot 2^1 = 2^{(x-1)+1} = 2^{x-1+1} = 2^x$

Ответ: $2^x$

г) $10^{x+2} - 5 \cdot 10^x$

Чтобы вынести общий множитель, преобразуем $10^{x+2}$ с помощью свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$10^{x+2} = 10^x \cdot 10^2 = 100 \cdot 10^x$

Подставим это в исходное выражение:

$100 \cdot 10^x - 5 \cdot 10^x$

Теперь мы можем вынести общий множитель $10^x$ за скобки:

$10^x \cdot (100 - 5)$

Выполним вычитание в скобках:

$10^x \cdot 95 = 95 \cdot 10^x$

Ответ: $95 \cdot 10^x$