Номер 2.66, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.66. Функция $y = f(x)$ задана графиком на отрезке $[-4; 7]$ (рис. 14). Пользуясь графиком, найдите:

а) множество значений функции;

б) нули функции;

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) промежутки монотонности функции;

д) количество целых решений неравенства $f(x) > 1$;

е) число корней уравнения $f(x) = \frac{x}{6}$.

Рис. 14

а) множество значений функции;

Множество значений функции — это все значения, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения. Чтобы найти его по графику, нужно определить наименьшее (минимальное) и наибольшее (максимальное) значение функции. Из графика видно, что минимальное значение функции достигается в точке $x = -4$ и равно $y_{min} = -2$. Максимальное значение функции достигается в точках $x = -1$ и $x = 7$ и равно $y_{max} = 2$. Следовательно, множество значений функции — это все числа из отрезка от $-2$ до $2$.
Ответ: $E(f) = [-2; 2]$.

б) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Графически это абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$. Из графика видно, что график пересекает ось абсцисс в точках, где $x = -2$, $x = 1$ и $x = 6$.
Ответ: $-2; 1; 6$.

в) промежутки знакопостоянства функции;

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (то есть, либо $f(x) > 0$, либо $f(x) < 0$). Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Это происходит при $x$ от $-2$ до $1$, от $1$ до $6$ и от $6$ до $7$. В точках $x=1$ и $x=6$ функция равна нулю, поэтому эти точки не входят в промежутки строгой положительности. Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит при $x$ от $-4$ до $-2$. В точке $x=-4$ функция определена, а в точке $x=-2$ она равна нулю.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2; 1) \cup (1; 6) \cup (6; 7]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -2)$.

г) промежутки монотонности функции;

Промежутки монотонности — это интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает. Функция возрастает (является возрастающей), когда с увеличением $x$ значения $y$ также увеличиваются (график идет вверх). Это происходит на следующих промежутках: $[-4; -1]$, $[1; 3]$ и $[6; 7]$. Функция убывает (является убывающей), когда с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются (график идет вниз). Это происходит на следующих промежутках: $[-1; 1]$ и $[3; 6]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -1]$, $[1; 3]$, $[6; 7]$; функция убывает на промежутках $[-1; 1]$, $[3; 6]$.

д) количество целых решений неравенства $f(x) > 1$;

Нам нужно найти количество целых чисел $x$ из отрезка $[-4; 7]$, для которых значение функции $f(x)$ строго больше 1. Рассмотрим целые значения $x$ из области определения $[-4; 7]$: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Найдем значения функции в этих точках по графику и сравним их с 1:

• $f(-4) = -2$, что не больше 1.
• $f(-3)$ находится между $-2$ и $0$, что не больше 1.
• $f(-2) = 0$, что не больше 1.
• $f(-1) = 2$, что больше 1. Следовательно, $x = -1$ является решением.
• $f(0) = 1$, что не является строго большим 1.
• $f(1) = 0$, что не больше 1.
• $f(2)$ находится между $0$ и $1.5$, а точнее $f(2) = 0.75$, что не больше 1.
• $f(3) = 1.5$, что больше 1. Следовательно, $x = 3$ является решением.
• $f(4) = 1$, что не является строго большим 1.
• $f(5) = 0.5$, что не больше 1.
• $f(6) = 0$, что не больше 1.
• $f(7) = 2$, что больше 1. Следовательно, $x = 7$ является решением.

Таким образом, целыми решениями неравенства являются числа $-1, 3, 7$. Их количество равно 3.
Ответ: 3.

е) число корней уравнения $f(x) = \frac{x}{6}$.

Число корней уравнения $f(x) = \frac{x}{6}$ равно числу точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с графиком функции $y = g(x) = \frac{x}{6}$. Построим график прямой $y = \frac{x}{6}$. Эта прямая проходит через начало координат $(0; 0)$. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x = 6$, $y = \frac{6}{6} = 1$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0; 0)$ и $(6; 1)$. Нанесем эту прямую на чертеж с графиком функции $y=f(x)$ и посчитаем количество точек пересечения.

1. Первое пересечение находится на отрезке $[-4; -2]$.
2. Второе пересечение находится на отрезке $[-1; 1]$.
3. Третье пересечение находится на отрезке $[1; 3]$.
4. Четвертое пересечение находится на отрезке $[3; 6]$.
5. Пятое пересечение находится на отрезке $[6; 7]$.

Всего получается 5 точек пересечения.
Ответ: 5.