Номер 2.73, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.73. Представьте число 5 в виде степени с основанием:

а) 2;

б) $\frac{1}{2}$;

в) 0,7;

г) $\pi$.

Для решения этой задачи используется основное логарифмическое тождество. Оно гласит, что для любого положительного числа $b$ и любого положительного основания $a$ (где $a \neq 1$) справедливо равенство: $b = a^{\log_a b}$. Мы применим это тождество для числа $b=5$ с различными основаниями $a$, предложенными в задании.

а)

Необходимо представить число 5 в виде степени с основанием 2. Мы ищем такое число $x$, чтобы выполнялось равенство $2^x = 5$. Согласно определению логарифма, показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 5, равен $\log_2 5$. Таким образом, $x = \log_2 5$.

Подставив это значение $x$ в исходное равенство, получаем:

$5 = 2^{\log_2 5}$.

Ответ: $2^{\log_2 5}$.

б)

Необходимо представить число 5 в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Мы ищем такое число $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{2})^x = 5$. По определению логарифма, показатель $x$ равен $\log_{\frac{1}{2}} 5$.

Следовательно, искомое представление числа 5 имеет вид:

$5 = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$.

в)

Необходимо представить число 5 в виде степени с основанием 0,7. Мы ищем такое число $x$, чтобы выполнялось равенство $0,7^x = 5$. По определению логарифма, показатель $x$ равен $\log_{0,7} 5$.

Следовательно, искомое представление числа 5 имеет вид:

$5 = 0,7^{\log_{0,7} 5}$.

Ответ: $0,7^{\log_{0,7} 5}$.

г)

Необходимо представить число 5 в виде степени с основанием $\pi$. Мы ищем такое число $x$, чтобы выполнялось равенство $\pi^x = 5$. По определению логарифма, показатель $x$ равен $\log_{\pi} 5$.

Следовательно, искомое представление числа 5 имеет вид:

$5 = \pi^{\log_{\pi} 5}$.

Ответ: $\pi^{\log_{\pi} 5}$.