Номер 2.76, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.76. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^{3x+1}$ и $y = \left(\frac{7}{3}\right)^{5x-3}$;

б) $y = 2^{3x-5}$ и $y = 0,5^{11-x}$;

В) $y = (0,2)^{\frac{2x+1}{3}}$ и $y = 5^{x-2}$;

Г) $y = 8^{\frac{2x-1}{3}}$ и $y = 0,125^{3+x}$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, необходимо приравнять их правые части. Получим уравнение:

$(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}$

Для решения показательного уравнения приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $\frac{7}{3} = (\frac{3}{7})^{-1}$. Подставим это в уравнение:

$(\frac{3}{7})^{3x+1} = ((\frac{3}{7})^{-1})^{5x-3}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{3}{7})^{-(5x-3)}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x+1 = -(5x-3)$

$3x+1 = -5x+3$

$3x+5x = 3-1$

$8x = 2$

$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

б) Приравниваем правые части данных функций $y = 2^{3x-5}$ и $y = 0.5^{11-x}$:

$2^{3x-5} = 0.5^{11-x}$

Приведем основания к одному числу. Так как $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, уравнение принимает вид:

$2^{3x-5} = (2^{-1})^{11-x}$

$2^{3x-5} = 2^{-(11-x)}$

$2^{3x-5} = 2^{-11+x}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$3x-5 = -11+x$

$3x-x = -11+5$

$2x = -6$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.

в) Приравниваем правые части функций $y = (0.2)^{\frac{2x+1}{3}}$ и $y = 5^{x-2}$:

$(0.2)^{\frac{2x+1}{3}} = 5^{x-2}$

Приведем основания к одному числу. Так как $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, получаем:

$(5^{-1})^{\frac{2x+1}{3}} = 5^{x-2}$

$5^{-\frac{2x+1}{3}} = 5^{x-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$-\frac{2x+1}{3} = x-2$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$-(2x+1) = 3(x-2)$

$-2x-1 = 3x-6$

$-1+6 = 3x+2x$

$5 = 5x$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

г) Приравниваем правые части функций $y = 8^{\frac{2x-1}{3}}$ и $y = 0.125^{3+x}$:

$8^{\frac{2x-1}{3}} = 0.125^{3+x}$

Приведем основания к одному числу, например, к 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$.

Подставляем эти значения в исходное уравнение:

$(2^3)^{\frac{2x-1}{3}} = (2^{-3})^{3+x}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{3 \cdot \frac{2x-1}{3}} = 2^{-3(3+x)}$

$2^{2x-1} = 2^{-9-3x}$

Приравниваем показатели степеней:

$2x-1 = -9-3x$

$2x+3x = -9+1$

$5x = -8$

$x = -\frac{8}{5} = -1.6$

Ответ: $x = -1.6$.