Номер 2.77, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.77. Решите уравнение:

a) $7^{x^2-x} - 49 = 0;$

б) $3^{x^2-15} - 3 = 0;$

в) $5^{x^2+1} - 125 = 0;$

г) $2^{x^2+7x} - 1 = 0;$

д) $5^{9-x^2} - 0,04 = 0;$

е) $10^{x^2+x} - \sqrt{10} = 0.$

а) $7^{x^2-x} - 49 = 0$

Перенесем 49 в правую часть уравнения:

$7^{x^2-x} = 49$

Представим 49 как степень числа 7:

$49 = 7^2$

Теперь уравнение имеет вид:

$7^{x^2-x} = 7^2$

Так как основания степеней равны, можем приравнять показатели:

$x^2 - x = 2$

Перенесем 2 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Ответ: $-1; 2$.

б) $3^{x^2-15} - 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$3^{x^2-15} = 3$

Представим 3 как $3^1$:

$3^{x^2-15} = 3^1$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 15 = 1$

$x^2 = 16$

Найдем корни:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Ответ: $-4; 4$.

в) $5^{x^2+1} - 125 = 0$

Перенесем 125 в правую часть:

$5^{x^2+1} = 125$

Представим 125 как степень числа 5:

$125 = 5^3$

$5^{x^2+1} = 5^3$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 + 1 = 3$

$x^2 = 2$

Найдем корни:

$x = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

г) $2^{x^2+7x} - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$2^{x^2+7x} = 1$

Представим 1 как степень числа 2:

$1 = 2^0$

$2^{x^2+7x} = 2^0$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 + 7x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x + 7 = 0$

$x_2 = -7$

Ответ: $-7; 0$.

д) $5^{9-x^2} - 0,04 = 0$

Перенесем 0,04 в правую часть:

$5^{9-x^2} = 0,04$

Представим 0,04 в виде обыкновенной дроби и затем в виде степени числа 5:

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

$5^{9-x^2} = 5^{-2}$

Приравняем показатели степеней:

$9 - x^2 = -2$

$x^2 = 9 + 2$

$x^2 = 11$

Найдем корни:

$x = \pm\sqrt{11}$

Ответ: $-\sqrt{11}; \sqrt{11}$.

е) $10^{x^2+x} - \sqrt{10} = 0$

Перенесем $\sqrt{10}$ в правую часть:

$10^{x^2+x} = \sqrt{10}$

Представим $\sqrt{10}$ как степень числа 10:

$\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$

$10^{x^2+x} = 10^{\frac{1}{2}}$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 + x = \frac{1}{2}$

Перенесем $\frac{1}{2}$ в левую часть и умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 + x - \frac{1}{2} = 0 \quad | \cdot 2$

$2x^2 + 2x - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2(-1 \pm \sqrt{3})}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$, $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.