Номер 2.79, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.79. Решите уравнение:

а) $5^{2x} = 3;$ б) $2^{x-4} = 5;$ в) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5-x} = 2;$ г) $10^{3-x} = 7.$

а) Дано уравнение $5^{2x} = 3$.
Это показательное уравнение. Чтобы его решить, воспользуемся определением логарифма. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.
В нашем случае основание $a=5$, число $b=3$, а показатель степени равен $2x$.
Следовательно, мы можем записать: $2x = \log_5 3$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2: $x = \frac{\log_5 3}{2}$
Также можно использовать свойство логарифма $k\log_a b = \log_a(b^k)$ и представить ответ в виде: $x = \frac{1}{2}\log_5 3 = \log_5(3^{1/2}) = \log_5 \sqrt{3}$. Оба вида записи ответа являются верными.
Ответ: $x = \frac{\log_5 3}{2}$.

б) Дано уравнение $2^{x-4} = 5$.
Применим определение логарифма. Показатель степени $x-4$ равен логарифму числа 5 по основанию 2.
$x-4 = \log_2 5$
Чтобы найти $x$, перенесем -4 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный: $x = 4 + \log_2 5$
Ответ: $x = 4 + \log_2 5$.

в) Дано уравнение $(\frac{1}{3})^{5-x} = 2$.
Сначала преобразуем основание степени. Мы знаем, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Подставим это в уравнение: $(3^{-1})^{5-x} = 2$
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, мы можем перемножить показатели: $3^{-1 \cdot (5-x)} = 2$
$3^{x-5} = 2$
Теперь, по определению логарифма, показатель степени $x-5$ равен логарифму числа 2 по основанию 3: $x-5 = \log_3 2$
Чтобы найти $x$, перенесем -5 в правую часть уравнения: $x = 5 + \log_3 2$
Ответ: $x = 5 + \log_3 2$.

г) Дано уравнение $10^{3-x} = 7$.
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как $\lg$.
Применяя определение логарифма к нашему уравнению, получаем, что показатель степени $3-x$ равен десятичному логарифму числа 7: $3-x = \log_{10} 7$
$3-x = \lg 7$
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем 3 в правую часть: $-x = \lg 7 - 3$
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти $x$: $x = -(\lg 7 - 3) = 3 - \lg 7$
Ответ: $x = 3 - \lg 7$.