Номер 2.80, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.80. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

а) $y=(\sqrt{2})^{x^2-7}$ и прямой $y=\frac{1}{8}$;

б) $y=(\frac{1}{3})^{x^2-6x+6}$ и прямой $y=9$;

в) $y=5^{x^2-5x+6}$ и прямой $y=1$;

г) $y=(5^{1-x})^{x+1}$ и прямой $y=0,008$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения, необходимо приравнять правые части уравнений данных функций:
$(\sqrt{2})^{x^2-7} = \frac{1}{8}$
Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 2.
Известно, что $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Подставим эти значения в уравнение:
$(2^{1/2})^{x^2-7} = 2^{-3}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ упростим левую часть:
$2^{\frac{1}{2}(x^2-7)} = 2^{-3}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\frac{1}{2}(x^2-7) = -3$
Умножим обе части на 2:
$x^2 - 7 = -6$
$x^2 = -6 + 7$
$x^2 = 1$
Из этого уравнения находим два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: -1; 1.

б) Приравниваем правые части уравнений:
$(\frac{1}{3})^{x^2-6x+6} = 9$
Приведем обе части уравнения к основанию 3.
Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$, уравнение можно переписать в виде:
$(3^{-1})^{x^2-6x+6} = 3^2$
Упростим левую часть:
$3^{-(x^2-6x+6)} = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$-(x^2-6x+6) = 2$
$-x^2+6x-6 = 2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2-6x+8 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 4.
$x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Ответ: 2; 4.

в) Приравниваем правые части уравнений:
$5^{x^2-5x+6} = 1$
Любое число в нулевой степени равно 1. Представим 1 как $5^0$:
$5^{x^2-5x+6} = 5^0$
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$x^2-5x+6 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение — 6. Корни уравнения:
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Ответ: 2; 3.

г) Приравниваем правые части уравнений:
$(5^{1-x})^{x+1} = 0,008$
Сначала упростим левую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$5^{(1-x)(x+1)} = 5^{1-x^2}$
Теперь преобразуем правую часть. Переведем десятичную дробь в обыкновенную:
$0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125}$
Представим $\frac{1}{125}$ как степень с основанием 5:
$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$
Теперь уравнение имеет вид:
$5^{1-x^2} = 5^{-3}$
Приравниваем показатели степеней:
$1-x^2 = -3$
$x^2 = 1+3$
$x^2 = 4$
Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Ответ: -2; 2.