Номер 2.85, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.85. Решите уравнение:

а) $9^{\sin x} = 3;$

б) $0,5^{\cos x} = 2;$

в) $16^{\sin x \cos x} = 4;$

г) $15^{\sin x + \cos x} = 1.$

а)

Дано уравнение $9^{\sin x} = 3$.

Представим левую и правую части уравнения в виде степени с одинаковым основанием 3. Так как $9 = 3^2$ и $3 = 3^1$, уравнение принимает вид:

$(3^2)^{\sin x} = 3^1$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^{2\sin x} = 3^1$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2\sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $0.5^{\cos x} = 2$.

Представим число 0,5 в виде степени с основанием 2. Так как $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, уравнение можно переписать как:

$(2^{-1})^{\cos x} = 2^1$

Используя свойство степени, получаем:

$2^{-\cos x} = 2^1$

Приравниваем показатели степеней:

$-\cos x = 1$

$\cos x = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $16^{\sin x \cos x} = 4$.

Приведем обе части уравнения к основанию 4. Так как $16 = 4^2$, получаем:

$(4^2)^{\sin x \cos x} = 4^1$

Упростим левую часть:

$4^{2\sin x \cos x} = 4^1$

Приравниваем показатели степеней:

$2\sin x \cos x = 1$

Используем формулу синуса двойного угла, $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\sin(2x) = 1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение для $\sin t = 1$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. В нашем случае $t = 2x$:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $15^{\sin x + \cos x} = 1$.

Мы знаем, что любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Поэтому мы можем записать 1 как $15^0$:

$15^{\sin x + \cos x} = 15^0$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$\sin x + \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. В этом случае $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $\pm 1 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -1$

Общее решение для $\tan x = a$ имеет вид $x = \arctan(a) + \pi n$. В нашем случае $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.